ก้าวไปอีกขั้นกับการเรียนรู้คณิตสาสตร์ออนไลน์ กับครูอั๋น ด้วย MOODLE นักเรียนสามารถเข้าไปลงทะเบียนและเรียนรู้ และทบทวนเนื้อหาต่างๆ ได้ดั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไปครับ
อ่อ…สมัครสมาชิกก่อนนะครับ ถึงจะเข้าใช้งานได้ กำลังอับเดทไปเรื่อยๆ ครับผม
พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)
วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)
เช่น
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 ด้วย x – 3
วิธีทำ ในที่นี้ x – c = x – 3 ดังนั้น c = 3
ใ้ห้ p(x) = x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้ p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87
แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ
เช่น (2x3 – x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?
ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้
แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้
ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ
สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1
ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย x – c เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้
1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2. เขียน c เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4. นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6. นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า
ลองดูตัวอย่างกันครับ
ลองนำไปทำดูนะครับ
สรุปว่า
ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย
ครูอั๋น
7 กันยา’54
ใกล้เข้ามาแล้วสำหรับการสอบปลายภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2553 ซึ่งโรงเรียนก็ได้ให้รางวัลกับความพยายามและความเหนื่อยยากในการเรียนของนักเรียนด้วยการพาไปทัศนศึกษาเมื่อสอบเสร็จ (เย้…) แต่ก่อนจะได้พักยาวกันในช่วงปิดเทอมด้วย เราก็ต้องสู้กับการสอบปลายภาคก่อนนะครับ
สำหรับวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค31201) นี้ การสอบปลายภาคจะมีคะแนน 30 คะแนน (มีคะแนนพิเศษช่วยไว้แล้ว สำหรับนักเรียนที่ทำงานส่ง) มีเนื้อหาการสอบดังนี้นะครับ
ส่วนงานที่นักเรียนต้องส่งสำหรับบทที่ 3 มี 3 ชิ้น คะแนนรวม 20 คะแนน นะครับ คือ
ขอให้ทำให้เรียบร้อยนะครับ เพื่อผลการเรียนที่ดีเยี่ยมของพวกเรา
สำหรับคะแนนเก็บ 50 คะแนนครูได้ติดประกาศไว้หน้าห้องแล้ว ดูได้นะครับ มีข้อสงสัยก็สอบถามได้นะครับ ตามเดิมที่ครูบอกไว้
โชคดีครับทุกคน
ครูอั๋น
10 กันยา’53 ห้อง 423
ถามกันเยอะมากมายว่ารายละเอียดของรายงานเรื่อง “พหุนามและการแยกตัวประกอบของพหุนาม” มีว่าอย่างไร
อันดับ 1 รายงานนี้เป็นรายงานคู่ (คู่ หมายถึง ๒ คนนะครับ) ซึ่งสามารถทำคนเดียวได้ไม่ว่ากัน
และนักเรียนสามารถเลือกไม่ทำก็ได้ แต่ถ้านักเรียนทดสอบก่อนเรียนในบทที่ ๓ ได้คะแนนน้อยกว่าร้อยละ ๖๐ นักเรียนจะต้องทำงาน/การบ้านหนักกว่าเพื่อนที่ทำรายงานเรียบร้อย และส่งตามกำหนดเวลา
อันดับ 2 รายงานให้เขียนเท่านั้น หรือถ้านักเรียนจะนำเสนอในรูปแบบอื่นก็ได้ เช่น พาวเวอร์พอยต์ เว็บไซต์ รายงานเป็นคลิบวีดีโอ บทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) แต่ไม่อนุญาตให้พิมพ์เป็นรายงานโดยใข้โปรแกรมประมวลคำ (Word Processing) เช่น MicroSoft Word เป็นต้น
อันดับ 3 กำหนดส่งรายงาน อย่างช้าที่สุดในวันที่มีการทดสอบก่อนเรียนบทที่ ๓ เรื่องสมการและอสมการพหุนาม (น่าจะราวๆ อีก ๒ – ๓ สัปดาห์)
ส่วนหัวข้อรายงาน คลิกที่นี่ครับ
ขอคุณที่ให้ความร่วมมือในการปฏิบัติงาน
ผลที่ได้จากความตั้งใจ คือความรู้ และความสำเร็จของนักเรียนเอง
เร่งมือนะครับ “งานที่ไม่ได้เริ่มต้นลงมือทำ เป็นงานที่ใช้เวลายาวนานที่สุดกว่าจะสำเร็จ”
ด้วยความปรารถนาดี
ครูอั๋น
เรียนรู้กับครูอั๋น: เพราะคณิตศาสตร์ขาดไม่ได้ 