บางทีในการอธิบายศัพท์บางคำ ก็จำเป็นต้องอาศัยคำศัพท์อื่นๆ มาประกอบด้วย
ซึ่งตามแนวคิดนักคณิตศาสตร์ยุคใหม่ๆ เข้าใจแล้วว่า “เราไม่สามารถให้ความหมายคำได้ทุกคำ”
เพราะเมื่อเราให้ความหมายของคำคำหนึ่ง ก็จำเป็นต้องใช้คำอีกคำหนึ่งมาช่วย … เป็นเช่นนี้เรื่อยไป
เกิดเหตุการณ์ในลักษณะ “งูกินหาง”

ดังนั้น เพื่อให้เข้าใจคณิตศาสตร์มากขึ้น ควรเข้าใจความหมาย และลักษณะของคำบางคำก่อนครับ

โดยเฉพาะคำที่เกี่ยวกับโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ครับ

โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์

พจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถาน พ.ศ.2525 หน้า 162 ได้ให้ความหมายของคณิตศาสตร์ไว้ ดังนี้ “คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่ว่าด้วยการคำนวณ”  จะเห็นได้ว่าทุกประเทศต่างตระหนักถึงคุณค่าและความสำคัญของคณิตศาสตร์ จึงกำหนดให้ทุกคนต้องเรียนคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นภาษาสากล จากการที่คณิตศาสตร์มีลักษณะเฉพาะที่สำคัญและมีคุณค่า  ที่ว่า “มีความเป็นสากล” นี้ คณิตศาสตร์จึงเป็นศาสตร์ที่นักวิทยาศาสตร์และนักเทคโนโลยีในโลกต่างใช้เป็นเครื่องมือในการสื่อสารหรือสื่อความหมายซึ่งกันและกัน ทั้งนี้เพื่อเรียนรู้และถ่ายทอดความรู้ทางด้านวิทยา-ศาสตร์และเทคโนโลยีให้แก่กันและกัน Gauss (ค.ศ.1777 – 1855) หนึ่งในสามนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาลได้กล่าวยกย่องให้คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์  (Mathematics is the Queen of the Science)

ธรรมชาติและลักษณะเฉพาะของคณิตศาสตร์ที่สำคัญประการหนึ่งคือ “คณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นวิทยาศาสตร์” เพราะคณิตศาสตร์สามารถอธิบายได้และทุกคนยอมรับ

นอกจากความเป็นภาษาสากลและความเป็นวิทยาศาสตร์ที่คณิตศาสตร์มีอยู่ในตัวแล้ว คณิตศาสตร์ยังมีลักษณะเป็นตรรกวิทยา เพราะคณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ว่าด้วยเหตุผล คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่ใช้ศึกษาระบบที่สร้างขึ้นโดยอาศัยข้อตกลงและใช้เหตุผลตามลำดับ

ในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะสาขาใดก็ตาม จะพบว่าในตอนเริ่มต้นของการศึกษาจะต้องเรียนรู้ถึงคำใหม่ๆ ในสาขานั้นๆ คำใหม่เหล่านี้บางคำก็จำเป็นต้องให้ความหมายที่ชัดเจน โดยกำหนดคำนิยาม (Define Term) ของคำนั้นๆ แต่บางคำก็ไม่จำเป็นต้องให้นิยาม เพราะให้นำยามไปก็ไม่มีประโยชน์ เช่น คำว่า จุด เส้น เซต เป็นต้น ซึ่งเราพูดถึงคำที่ไม่ให้นิยามเหล่านี้ว่า คำอนิยาม (Undefine Term)

นอกจากคำว่านิยาม และคำอนิยามแล้ว เราจะพบสิ่งที่มีความสำคัญอีกประการหนึ่ง คือ ข้อความที่ยอมรับหรือมีข้อตกลงว่าเป็นความจริงโดยมไม่ต้องมีการพิสูจน์ ซึ่งข้อตกลงเหล่านี้เรียกว่า สัจพจน์ (Postulate หรือ Axiom) ซึ่งสัจพจน์นี้มีความสำคัญกับคณิตศาสตร์มาก เพราะนักคณิตศาสตร์ตั้งแต่อดีตเชื่อว่าก่อนที่เราจะพิสูจน์ข้อความใดข้อความหนึ่งว่าถูกต้องนั้น เราต้องยอมรับสิ่งใดสิ่งหนึ่งว่าถูกต้องก่อน ไม่เช่นนั้นเราก็ไม่สามารถพิสูจน์ข้อความนั้นได้

จากนิยาม อนิยาม และสัจพจน์ เราสามารถพิสูจน์ข้อความใหม่ๆ ได้อีกมากมาย ข้อความที่พิสูจน์ได้เหล่านี้เรียกว่า ทฤษฎีบท (Theorem) และตรรกศาสตร์จะมีความสำคัญมากในช่วงนี้ กล่าวคือ ตรรกศาสตร์จะกลายเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนั่นเอง จะเห็นว่าตรรกศาสตร์นั้นมีความสำคัญมากเพียงใดในวิชาคณิตศาสตร์

ในทางคณิตศาสตร์ เราเรียกระบบที่ประกอบด้วยบทนิยาม คำอนิยาม สัจพจน์ และทฤษฎีบท ว่าเป็นโครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์ (Mathematical System Structure)

โครงสร้างของคณิตศาสตร์ซึ่งอยู่ในรูปที่สมบูรณ์แล้ว จะเริ่มต้นด้วยธรรมชาติ ซึ่งอาจจะเป็นเนื้อหาสาระทางฟิสิกส์ ชีววิทยา เศรษฐศาสตร์ จิตวิทยา สังคมศาสตร์ ธุรกิจ ยุทธศาสตร์ ฯลฯ ซึ่งหากว่าเราพิจารณาเนื้อหาเหล่านี้แล้วสรุปให้อยู่ในรูปนามธรรม เพื่อสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของเนื้อหานั้นๆ เราจะต้องอาศัยอนิยาม  นิยาม ตลอดจนสัจพจน์ มาใช้สรุปตามหลักตรรกวิทยาเพื่อให้ได้เป็นกฎ หรือทฤษฎีบท จากนั้นมนุษย์จะได้นำกฎหรือทฤษฎีบทไปประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์แก่ธรรมชาติต่อไป

โครงสร้างของระบบคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์เริ่มเห็นความสำคัญของอนิยามเมื่อต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19 เพราะในการให้คำนิยามใดก็ตาม เราจำเป็นต้องอาศัยพื้นฐานของคำบางคำมาตกลงให้เป็นอนิยามเสียก่อน จากนั้นจึงนำอนิยามไปใช้ในการนิยามคำอื่นๆ นอกจากนั้น เรายังมีข้อความที่เราจะตกลงกันว่าเป็นความจริง (โดยไม่ต้องพิสูจน์) เรียกว่าสัจพจน์ จากนั้นเราจำใช้ตรรกวิทยา สรุปผลเป็นกฎ หรือทฤษฎีบท แล้วนำผลเหล่านั้นไปประยุกต์ในธรรมชาติต่อไป การที่เราทำเช่นนี้ก็เพื่อที่จะช่วยให้เข้าใจธรรมชาติได้ดีขึ้น ตลอดจนการค้นพบความสัมพันธ์ใหม่ๆ ซึ่งอาจจะช่วยเราในการควบคุม วางแผน และดำเนินการพัฒนาบุคคล สังคม และสิ่งแวดล้อมให้ดีขึ้น ในขณะที่เรานำกฎหรือทฤษฎีไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติ อาจจะได้ข้อมูลใหม่ๆ ซึ่งจะก่อให้เกิดการแก้ไขเปลี่ยนแปลงแบบจำลองขึ้น จนกระทั่งได้กฎ หรือทฤษฎีที่ดีกว่าเดิม แล้วจึงนำไปประยุกต์ใช้กับธรรมชาติอีกครั้งหนึ่ง วนเวียนเช่นนี้เรื่อยไป ซึ่งในส่วนนี้ช่วยชี้ให้เห็นว่าคณิตศาสตร์ช่วยปรับปรุงคุณภาพชีวิตของมนุษย์ ตลอดจนแก้ปัญหาเศรษฐกิจ และสังคมได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ในระดับที่สูงยิ่งขึ้นไป นักคณิตศาสตร์อาจไม่ได้คำนึงถึงประโยชน์ที่จะนำไปใช้ในธรรมชาติ แต่คิดสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาเอง แล้วค้นหาทฤษฎีหรือกฎต่างๆ จากแบบจำลองนี้ เราเรียกเนื้อหาเหล่านี้ว่า คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ (Pure Mathematics) นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ไม่ได้คำนึงถึงเรื่องที่จะนำไปใช้ประยุกต์เลย ถ้าบังเอิญสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้ก็เป็นแค่ผลพลอยได้เท่านั้น

#####################

ปรับปรุงรูปแบบการนำเสนอ จากบทความต้นฉบับของ สุเทพ  จันทร์สมศักดิ์.  (2519).  คณิตศาสตร์ศึกษา.  กรุงเทพฯ : หน่วยศึกษานิเทศก์ กรมสามัญศึกษา