(มีการเพิ่มเติมเนื้อหาบางส่วน แต่เนื้อหาส่วนใหญ่) คัดลอกจากบทความของ
รศ.ดร.สมวงษ์ แปลงประสพโชค
ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏพระนคร
เรื่อง ความสำคัญของการเรียนเรขาคณิต
‘ไม่มีลาดพระบาทสำหรับการเรียนเรขาคณิต’
There is no royal road to geometry.
ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย
(Euclid of Alexandria, ประมาณ 325 – 270 ปีก่อนคริสต์ศักราช)
จุดมุ่งหมายหลักของการเรียนการสอนเรขาคณิต มี 3 ประการดังนี้
ประการที่ 1 การฝึกให้เป็นคนมีเหตุมีผล การเรียนเรขาคณิตไม่ว่าจะเป็นการสำรวจหรือเริ่มต้นด้วยระบบสัจพจน์มักจะมีผลสืบเนื่องติดตามมาซึ่งไม่จำเป็นต้องสำรวจ หรือตั้งระบบใหม่ เราสามารถพิสูจน์ผลสืบเนื่องนั้น เรขาคณิตนิยมใช้การพิสูจน์บนข้อมูลที่มีอยู่ซึ่งเป็นลักษณะที่ต้องการให้คนมีเหตุผลมากกว่าจะเชื่อโชคลาง หรือเดาสุ่ม นอกจากนี้พื้นฐานของการพิสูจน์เป็นรากฐานของการเรียนกฎหมาย ในการพิสูจน์นักเรียนต้องแยกแยะได้ว่าอะไรเป็นเหตุ อะไรเป็นผลที่ต้องพิสูจน์ ส่วนใดนำมาอ้างอิงได้ แค่เพียงแยกแยะเหตุผลออกได้เองนับว่าน่าพอใจระดับหนึ่ง แต่ถ้าจะมุ่งหวังจากการเรียนเรขาคณิตอย่างเต็มที่จะมุ่งฝึกความสามารถต่อไปนี้
- ความสามารถด้านนิรนัย
- สามารถยกตัวอย่างค้าน (counterexample) สำหรับข้อความที่เป็นเท็จ
- สามารถให้นิยามที่ชัดเจนและรัดกุม
- รู้จักเงื่อนไขที่จำเป็น และเงื่อนไขที่เพียงพอ
- สามารถพิสูจน์บางแบบ เช่น พิสูจน์โดยแจงกรณี (proof by cases) และ พิสูจน์โดยทำให้เกิดข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) เป็นต้น
- ให้รู้จักระบบสัจพจน์ บทบาท และคุณค่าของระบบสัจพจน์
ประการที่ 2 ฝึกความสามารถด้านมิติสัมพันธ์ สามารถมองโครงสร้างหรือรูปสำคัญออกจากรูปที่ซับซ้อน ( field independent ) หรือสามารถมองว่ารูปที่กำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของอะไรบ้าง ตลอดจนการจินตนาการในเรื่องสมมาตรแบบต่าง ๆ ทั้งการเลื่อน การสะท้อน และการหมุน และรับรู้ความผิดปกติของรูป เช่น เขียนขอบแก้วทรงกระบอกเป็นลูกรักบี้ ไม่ว่าจะมองมุมใดเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พบความหักของโค้งบนระนาบ ความสามารถด้านมิติสัมพันธ์นี้หมายรวมถึงการกะประมาณด้วยการมองรูปหรือการสำรวจสเปซรอบ ๆ ตัวเรา เป็นเรื่องที่เด็กคุ้นเคย และให้ความสนใจตามธรรมชาติอยู่แล้ว เพียงแต่ขาดการชี้นำที่ดี ทำให้พัฒนาไม่ถึงขีดสุด และที่พบอยู่ในชีวิตจริงมักเป็นสิ่ง 3 มิติ
ประการที่ 3 มีพื้นฐานสำหรับการนำไปใช้ ทั้งด้านเทคโนโลยีทางวิทยาศาสตร์ กลศาสตร์ แสง เสียง และวิศวกรรมศาสตร์ การออกแบบทั้งด้านสัญลักษณ์และเครื่องกล การสำรวจ สถาปัตยกรรม ช่างไม้ ช่างตัดเสื้อ การเดินเรือ เช่นโครงรูปสามเหลี่ยมเป็นโครงที่แข็งแรง ใช้ยึดเสากับโครงที่ยังไม่สำเร็จ โครงรูปสี่เหลี่ยมปรับเป็นรูปสามเหลี่ยมใช้ออกแบบคีมล็อค การใช้วงเวียนและสันตรงออกแบบรูปตราสัญลักษณ์ และตัวอักษร การใช้มุมในส่วนของวงกลม ช่วยให้เรือไม่เกยหินโสโครก โดยไม่ต้องแล่นให้ไกล ฝั่งนัก เป็นต้น
นอกจากนี้เราอาจใช้เรขาคณิตเป็นแบบจำลอง อธิบายผ่านมติของทางเลขคณิต เช่น เศษส่วน ทางพีชคณิต เช่น (a + b)2 , (a + b + c)2 , a3 + b3 ฯลฯ และอาจใช้เป็นสื่อกลางสำหรับการแก้ปัญหาที่ใช้หลาย ๆ ข้อผสมกัน เช่น การหาค่ามุมจากรูปเป็นการผสมผสานเลขคณิตกับพีชคณิต
ทำไมนักเรียนจึงเรียนเรขาคณิตไม่ได้ผลดีเท่าที่ควร
รศ.ดร.สมพล เล็กสกุล ได้สรุปปัญหาการเรียนการสอนเรขาคณิตไว้ดังนี้
- อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจความหมายของโจทย์หรือของทฤษฎีบทนั้น
- ไม่สามารถแยกแยะโจทย์ได้ว่าข้อความตอนใดเป็นเหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้และตอนใดเป็นผล หรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
- นักเรียนยังขาดพื้นฐานทางเรขาคณิตบางประการจึงไม่สามารถแก้ปัญหาได้
- ไม่สามารถหาแนวการคิดพิสูจน์ได้
- ไม่ทราบว่าจะเริ่มต้นการเขียนอะไรก่อน
- การลำดับขั้นตอนของการเขียนพิสูจน์ยังไม่ต่อเนื่อง ( กระโดดไปกระโดดมา )
- เขียนการพิสูจน์วกไปวนมาไม่ได้จุดที่ต้องการ
- ใช้วิธีท่องจำการพิสูจน์
- มีความสนใจต่อการเรียน และการทำแบบฝึกหัดน้อยไป
- ไม่มีความอดทนต่อการเขียนการพิสูจน์
- ทำงานไม่เป็นระบบ ไม่มีแบบแผน รีบเร่งจนขาดความระมัดระวัง
- เขียนรูปไม่ถูกต้อง มักจะเขียนตามความคุ้นเคยหรือเข้าข้างตัวเอง (ไม่เป็นรูปทั่ว ๆ ไป)
- สรุปผลหรือข้ออ้างอิงจากการดูรูป หรือจากการทดลอง
เรียนรู้กับครูอั๋น: เพราะคณิตศาสตร์ขาดไม่ได้ 
ขอบคุณครับพี่
ยินดีครับผมน้องรัก