เรียนเรขาคณิตไปทำไม

(มีการเพิ่มเติมเนื้อหาบางส่วน แต่เนื้อหาส่วนใหญ่) คัดลอกจากบทความของ
รศ.ดร.สมวงษ์ แปลงประสพโชค

ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏพระนคร
เรื่อง ความสำคัญของการเรียนเรขาคณิต

‘ไม่มีลาดพระบาทสำหรับการเรียนเรขาคณิต’
There is no royal road to geometry.
ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย
(Euclid of Alexandria, ประมาณ 325 – 270 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

จุดมุ่งหมายหลักของการเรียนการสอนเรขาคณิต  มี  3  ประการดังนี้

ประการที่ 1  การฝึกให้เป็นคนมีเหตุมีผล  การเรียนเรขาคณิตไม่ว่าจะเป็นการสำรวจหรือเริ่มต้นด้วยระบบสัจพจน์มักจะมีผลสืบเนื่องติดตามมาซึ่งไม่จำเป็นต้องสำรวจ  หรือตั้งระบบใหม่   เราสามารถพิสูจน์ผลสืบเนื่องนั้น  เรขาคณิตนิยมใช้การพิสูจน์บนข้อมูลที่มีอยู่ซึ่งเป็นลักษณะที่ต้องการให้คนมีเหตุผลมากกว่าจะเชื่อโชคลาง  หรือเดาสุ่ม  นอกจากนี้พื้นฐานของการพิสูจน์เป็นรากฐานของการเรียนกฎหมาย  ในการพิสูจน์นักเรียนต้องแยกแยะได้ว่าอะไรเป็นเหตุ  อะไรเป็นผลที่ต้องพิสูจน์  ส่วนใดนำมาอ้างอิงได้  แค่เพียงแยกแยะเหตุผลออกได้เองนับว่าน่าพอใจระดับหนึ่ง  แต่ถ้าจะมุ่งหวังจากการเรียนเรขาคณิตอย่างเต็มที่จะมุ่งฝึกความสามารถต่อไปนี้

  1. ความสามารถด้านนิรนัย
  2. สามารถยกตัวอย่างค้าน (counterexample)  สำหรับข้อความที่เป็นเท็จ
  3. สามารถให้นิยามที่ชัดเจนและรัดกุม
  4. รู้จักเงื่อนไขที่จำเป็น  และเงื่อนไขที่เพียงพอ
  5. สามารถพิสูจน์บางแบบ  เช่น พิสูจน์โดยแจงกรณี (proof  by  cases)  และ พิสูจน์โดยทำให้เกิดข้อขัดแย้ง (proof  by  contradiction) เป็นต้น
  6. ให้รู้จักระบบสัจพจน์  บทบาท  และคุณค่าของระบบสัจพจน์

ประการที่ 2  ฝึกความสามารถด้านมิติสัมพันธ์   สามารถมองโครงสร้างหรือรูปสำคัญออกจากรูปที่ซับซ้อน  ( field  independent )  หรือสามารถมองว่ารูปที่กำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของอะไรบ้าง  ตลอดจนการจินตนาการในเรื่องสมมาตรแบบต่าง ๆ  ทั้งการเลื่อน    การสะท้อน  และการหมุน  และรับรู้ความผิดปกติของรูป  เช่น  เขียนขอบแก้วทรงกระบอกเป็นลูกรักบี้ ไม่ว่าจะมองมุมใดเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พบความหักของโค้งบนระนาบ ความสามารถด้านมิติสัมพันธ์นี้หมายรวมถึงการกะประมาณด้วยการมองรูปหรือการสำรวจสเปซรอบ ๆ  ตัวเรา  เป็นเรื่องที่เด็กคุ้นเคย และให้ความสนใจตามธรรมชาติอยู่แล้ว  เพียงแต่ขาดการชี้นำที่ดี  ทำให้พัฒนาไม่ถึงขีดสุด  และที่พบอยู่ในชีวิตจริงมักเป็นสิ่ง  3  มิติ

ประการที่ 3 มีพื้นฐานสำหรับการนำไปใช้ ทั้งด้านเทคโนโลยีทางวิทยาศาสตร์  กลศาสตร์ แสง  เสียง  และวิศวกรรมศาสตร์  การออกแบบทั้งด้านสัญลักษณ์และเครื่องกล  การสำรวจ สถาปัตยกรรม  ช่างไม้  ช่างตัดเสื้อ  การเดินเรือ  เช่นโครงรูปสามเหลี่ยมเป็นโครงที่แข็งแรง  ใช้ยึดเสากับโครงที่ยังไม่สำเร็จ  โครงรูปสี่เหลี่ยมปรับเป็นรูปสามเหลี่ยมใช้ออกแบบคีมล็อค  การใช้วงเวียนและสันตรงออกแบบรูปตราสัญลักษณ์  และตัวอักษร การใช้มุมในส่วนของวงกลม  ช่วยให้เรือไม่เกยหินโสโครก  โดยไม่ต้องแล่นให้ไกล ฝั่งนัก  เป็นต้น

นอกจากนี้เราอาจใช้เรขาคณิตเป็นแบบจำลอง อธิบายผ่านมติของทางเลขคณิต เช่น  เศษส่วน  ทางพีชคณิต  เช่น  (a + b)2 , (a + b + c)2 , a3 + b3  ฯลฯ และอาจใช้เป็นสื่อกลางสำหรับการแก้ปัญหาที่ใช้หลาย ๆ  ข้อผสมกัน  เช่น  การหาค่ามุมจากรูปเป็นการผสมผสานเลขคณิตกับพีชคณิต

ทำไมนักเรียนจึงเรียนเรขาคณิตไม่ได้ผลดีเท่าที่ควร

รศ.ดร.สมพล เล็กสกุล ได้สรุปปัญหาการเรียนการสอนเรขาคณิตไว้ดังนี้

  1. อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจความหมายของโจทย์หรือของทฤษฎีบทนั้น
  2. ไม่สามารถแยกแยะโจทย์ได้ว่าข้อความตอนใดเป็นเหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้และตอนใดเป็นผล  หรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์
  3. นักเรียนยังขาดพื้นฐานทางเรขาคณิตบางประการจึงไม่สามารถแก้ปัญหาได้
  4. ไม่สามารถหาแนวการคิดพิสูจน์ได้
  5. ไม่ทราบว่าจะเริ่มต้นการเขียนอะไรก่อน
  6. การลำดับขั้นตอนของการเขียนพิสูจน์ยังไม่ต่อเนื่อง  ( กระโดดไปกระโดดมา )
  7. เขียนการพิสูจน์วกไปวนมาไม่ได้จุดที่ต้องการ
  8. ใช้วิธีท่องจำการพิสูจน์
  9. มีความสนใจต่อการเรียน  และการทำแบบฝึกหัดน้อยไป
  10. ไม่มีความอดทนต่อการเขียนการพิสูจน์
  11. ทำงานไม่เป็นระบบ  ไม่มีแบบแผน  รีบเร่งจนขาดความระมัดระวัง
  12. เขียนรูปไม่ถูกต้อง  มักจะเขียนตามความคุ้นเคยหรือเข้าข้างตัวเอง  (ไม่เป็นรูปทั่ว ๆ ไป)
  13. สรุปผลหรือข้ออ้างอิงจากการดูรูป  หรือจากการทดลอง

2 thoughts on “เรียนเรขาคณิตไปทำไม

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s