จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม

จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม (Polygonal Numbers) หรืออาจจะพบในชื่ออื่นๆ เช่น จำนวนเชิงรูปภาพ (Figurate Numners) ซึ่งจำนวเชิงรูปหลายเหลี่ยมั้น จริงๆ แล้วก็คือจำนวนจุดยอดมุมในรูปเรขาคณิต โดยจำนวนแรกของกลุ่มของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมจะเป็น 1 เสมอ หรือก็คือจุดหนึ่งจุดนั่นเอง จำนวนที่สองเท่ากับจำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยมนั่นเอง ตัวอย่าง สมาชิกตัวที่ 2 ของรูปห้าเหลี่ยม คือ 5 ซึ่งมาจากรูปห้าเหลี่ยมมี 5 จุดยอดมุม (และ 5 ด้าน) สมาชิกตัวที่ 3 สร้างจากสมาชิกสองตัวก่อน

จำนวน เชิงสามเหลี่ยม (จำนวนรูปสามเหลี่ยม, จำนวนสามเหลี่ยม) และจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (จำนวนกำลังสอง จำนวนรูปสี่เหลี่ยม, จำนวนสี่เหลี่ยม) เป็นกรณีเฉพาะ 2 กรณีของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเราจะกล่าวกรณีเฉพาะเพียงสองกรณีนี้เท่านั้นเพื่อเป็นกรณีศึกษา

จำนวนเชิงสามเหลี่ยม

จำนวน สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งสามรถพบได้ในสมาชิกบนเส้นทแยงมุมแถวที่สามของสามเหลี่ยม (ดูภาพประกอบ) จำนวนสามเชิงสามเหลี่ยมประกอบด้วย 1, 3, 6, 10, …

จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือจำนวนกำลังสอง

พบ ในแถวเดียวกับเส้นทแยงที่พบจำนวนเชิงสามเหลี่ยม จำนวนกำลังสองเกิดจากผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสองจำนวน (ดูภาพประกอบ) โดยจำนวนกำลังสองตัวที่ n จะเท่ากับจำนวนเชิงสามเหลี่ยมจำนวนที่ n รวมกับจำนวนเชิงสามเหลี่ยมจำนวนที่ n-1 (อย่าลืมว่า…จำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมนี้เป็น 0 นะครับ) ความน่าสนใจของรูปสี่ด้านอยู่ที่ชื่อของมันสามารถอธิบายตัวมันเองได้อย่าง ชัดเจน จำนวนกำลังสองจำนวนแรกสุด คือ 02 จำนวนที่สอง คือ 12 จำนวนที่ 3 คือ 22 (4) จำนวนที่ 4 คือ 32 (9) และเป็นเช่นนี้เรื่อยๆ ไป (อ่านอย่างละเอียดในเรื่องจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม)

รูปหลายเหลี่ยม

จำนวนที่ 1

จำนวนที่ 2

จำนวนที่ 3

จำนวนที่ 4

จำนวนที่ 5

จำนวนที่ 6

รูปสามเหลี่ยม

 .          

จำนวนจุดยอด

1

3

6

10

15

21

รูปสี่เหลี่ยม

 .          

จำนวนจุดยอด

1

4

9

16

25

36

รูปห้าเหลี่ยม

 .          

จำนวนจุดยอด

1

5

12

22

35

51

รูปหกเหลี่ยม

 .          

จำนวนจุดยอด

1

6

15

28

45

66

คำอธิบายในการสร้างรูป

จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมนั้นจริงๆ แล้วมันเป็นเพียงแค่จำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยม โดยจำนวนรูปหลายเหลี่ยมจำนวนแรก คือ 1 เสมอ หรือก็คือจุดหนึ่งจุดนั่นเอง จำนวนที่สองเท่ากับจำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยมรูปนั้น เช่น จำนวนที่สองของจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม (Pentagonal Numbers) คือ 5 เพราะว่ารูปห้าเหลี่ยมมี 5 มุม (และ 5 ด้าน) จำนวนที่ 3 ถูกสร้างจากด้านที่อยู่ภายนอกสองด้านของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมรูปที่สอง จากนั้นทำให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าให้สมบูรณ์ เติมจุดเท่าที่จำเป็นให้ได้รูปหลายเหลี่ยมนั้น และแทนที่จุดยอดและจุดอื่นๆ เท่าที่จำเป็น จำนวนที่ 3 จะสร้างจากการนำผลรวมของจุดยอดมุมและจุดอื่นๆ บนด้านเข้าด้วยกัน (ดูตารางประกอบนะครับ)

ผมอยากจะอธิบายเพิ่มเติมในส่วนการสร้างรูปที่สามครับ (ผมแปลแล้วก็งงเอง)

ยกตัวอย่างจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม

รูปที่ 2 คือ รูปสี่เหลี่ยม

รูปที่ 3 คือ รูปสี่เหลี่ยม  รูปนี้สร้างจากเอาด้านสองด้านของสองรูปก่อนหน้า ซึ่งก็คือด้านของรูปที่หนึ่งกับรูปที่สอง มาเติมให้เป็นด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ ด้านของรูปที่ 1 คือจุด . ด้านของรูปที่ 2 คือ .__. ซึ่งเมื่อเอามารวมกันแล้วเติมเส้นเท่าที่จำเป็นก็จะได้เส้นตรงที่มีจุดสามจุด  แบบนี้ เอาตัวนี้แหละครับ ไปต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปที่สาม

รูปที่ 4 คือรูปสี่เหลี่ยม  รูปนี้สร้างจากเอาด้านสองด้านของสองรูปก่อนหน้า ซึ่งก็คือด้านของรูปที่สองกับรูปที่สาม มาเติมให้เป็นด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ ด้านของรูปที่ 2 คือ .__. และด้านที่สาม คือ .__.__. ซึ่งเมื่อเอามาต่อกันแล้วเติมเส้นเท่าที่จำเป็นก็จะได้เส้นตรงที่มีจุดสี่จุด  แบบนี้ เอาตัวนี้แหละครับ ไปต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปที่สี่

ทำแบบนี้เรื่อยๆ ไป และกับรูปอื่นๆ ด้วยเช่นกันครับ

มีการสร้างสูตรโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Shi-Cheng สำหรับจำนวนเชิงรูป x เหลี่ยมรูปที่ n (อ๊ากกกก…อะไรเนี้ยะ) หาได้จากสูตร

  • ถ้า x เป็นจำนวนคู่ แล้ว y = x/2 – 1 จะได้สูตร คือ n + y(n2 – n)
  • ถ้า x เป็นจำนวนคี่ แล้ว y = (x – 1)/2 จะได้สูตร คือ (-n2 + 3n + 2n2y – 2ny)/2

สูตรนี้แม้ว่าจะเข้าท่าและใช้งานได้ดี แต่มีการการใช้สูตรอื่นๆ อีก คือสูตรของเจ้าของบทความในภาคภาษาอังกฤษ (สูตรของ Winton) ซึ่งมีความซับซ้อนน้อยกว่า และมีพื้นฐานจากการหาจำนวนเชิงรูป x เหลี่ยมรูปที่ n โดยคุณแค่คูณจำนวนนที่สามในแถวทแยงที่ n ด้วย x – 2 และบวกด้วยจำนวนที่อยู่ในแถวเดียวกันแต่อยู่ในแถวทแยงที่สอง ซึ่งก็จะได้ออกมาเป็นสูตร ((n2 – n)/2)(x – 2) + n

32 thoughts on “จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม

  1. Jitiporn srikaew พูดว่า:

    อยากรู้แนวคิดเพิ่มเติมจากการศึกษาเรื่องจำนวนแบบรูปเชิงสามเหลี่ยม,สี่เหลี่ยมน่ะค่ะ บอกหน่อยได้ไหมคะ

  2. affan พูดว่า:

    ครูครับช่วยอธิบาย triangular number อย่างละเอียดหน่อยได่ไหมครับ
    พอดีว่าสนใจเรื่องนี้ครับ แต่หาหนังสือไม่เจอเลย
    เจอแต่ใน wikipedia แต่เป็นภาษาอังกฤษ ผมไม่รู้เรื่องเลยครับ

  3. nong พูดว่า:

    ครูค่ะ อันนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับควอเทอร์เนียนนะค่ะ
    (a0+a1i+a2J+a3k)(a0+a1i+a2J+a3k) แล้วทำไมมันได้ a0ยกกำลังสอง- a1 ยกกำลังสอง-a2ยกกำลังสอง-a3ยกกำลังสอง

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ควอเทอร์เนียน คือ อะไรหรือครับ???
      ไม่แน่ใจว่าผมมีความรู้เรื่องนี้หรือเปล่า อีกอย่าง ถ่ายมาเป็นภาพ จะดีกว่านะครับ และถ้ามีข้อความอย่างอื่นแวดล้อมด้วยจะขอบคุณมากๆ ครับ
      โพสที่เรียนรู้กับครูอั๋น http://www.facebook.com/LearningKruaun/ นะครับ

  4. man พูดว่า:

    สูตร
    ถ้า x เป็นจำนวนคู่ แล้ว y = x/2 – 1 จะได้สูตร คือ n + y(n^2 – n)
    ถ้า x เป็นจำนวนคี่ แล้ว y = (x – 1)/2 จะได้สูตร คือ (-n^2 + 3n + 2n^2y – 2ny)/2
    มายังไงครับ
    นสูตร ((n^2 – n)/2)(x – 2) + n ด้วย งงมากๆ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ไม่เคยค้นคว้าหาที่มาครับ แต่มาได้อย่างไร ก็น่าจะมาเหมือนกับสูตรอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ คือ สังเกตจากแบบรูปของจำนวนที่เรียงลำดับกันมา แล้วก็พยายามหาสูตร จากนั้นก็ตรวจสอบว่าใช้กับกรณีอื่นๆ ได้หรือไม่ ทำนองเดียวกับการหาพจน์ทั่วไปของลำดับนั่นแหละครับ หรือการหาสูตรผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง n (สูตรของเกาส์) 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 นั่นแหละครับผม

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s