จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม (Polygonal Numbers) หรืออาจจะพบในชื่ออื่นๆ เช่น จำนวนเชิงรูปภาพ (Figurate Numners) ซึ่งจำนวเชิงรูปหลายเหลี่ยมั้น จริงๆ แล้วก็คือจำนวนจุดยอดมุมในรูปเรขาคณิต โดยจำนวนแรกของกลุ่มของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมจะเป็น 1 เสมอ หรือก็คือจุดหนึ่งจุดนั่นเอง จำนวนที่สองเท่ากับจำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยมนั่นเอง ตัวอย่าง สมาชิกตัวที่ 2 ของรูปห้าเหลี่ยม คือ 5 ซึ่งมาจากรูปห้าเหลี่ยมมี 5 จุดยอดมุม (และ 5 ด้าน) สมาชิกตัวที่ 3 สร้างจากสมาชิกสองตัวก่อน
จำนวน เชิงสามเหลี่ยม (จำนวนรูปสามเหลี่ยม, จำนวนสามเหลี่ยม) และจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (จำนวนกำลังสอง จำนวนรูปสี่เหลี่ยม, จำนวนสี่เหลี่ยม) เป็นกรณีเฉพาะ 2 กรณีของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งเราจะกล่าวกรณีเฉพาะเพียงสองกรณีนี้เท่านั้นเพื่อเป็นกรณีศึกษา
จำนวนเชิงสามเหลี่ยม
จำนวน สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งสามรถพบได้ในสมาชิกบนเส้นทแยงมุมแถวที่สามของสามเหลี่ยม (ดูภาพประกอบ) จำนวนสามเชิงสามเหลี่ยมประกอบด้วย 1, 3, 6, 10, …
จำนวนเชิงสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือจำนวนกำลังสอง
พบ ในแถวเดียวกับเส้นทแยงที่พบจำนวนเชิงสามเหลี่ยม จำนวนกำลังสองเกิดจากผลรวมของสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสองจำนวน (ดูภาพประกอบ) โดยจำนวนกำลังสองตัวที่ n จะเท่ากับจำนวนเชิงสามเหลี่ยมจำนวนที่ n รวมกับจำนวนเชิงสามเหลี่ยมจำนวนที่ n-1 (อย่าลืมว่า…จำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมนี้เป็น 0 นะครับ) ความน่าสนใจของรูปสี่ด้านอยู่ที่ชื่อของมันสามารถอธิบายตัวมันเองได้อย่าง ชัดเจน จำนวนกำลังสองจำนวนแรกสุด คือ 02 จำนวนที่สอง คือ 12 จำนวนที่ 3 คือ 22 (4) จำนวนที่ 4 คือ 32 (9) และเป็นเช่นนี้เรื่อยๆ ไป (อ่านอย่างละเอียดในเรื่องจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม)
|
รูปหลายเหลี่ยม |
จำนวนที่ 1 |
จำนวนที่ 2 |
จำนวนที่ 3 |
จำนวนที่ 4 |
จำนวนที่ 5 |
จำนวนที่ 6 |
|
รูปสามเหลี่ยม |
. |  |
 |
 |
 |
 |
|
จำนวนจุดยอด |
1 |
3 |
6 |
10 |
15 |
21 |
|
รูปสี่เหลี่ยม |
. |  |
 |
 |
 |
 |
|
จำนวนจุดยอด |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
|
รูปห้าเหลี่ยม |
. |  |
 |
 |
 |
 |
|
จำนวนจุดยอด |
1 |
5 |
12 |
22 |
35 |
51 |
|
รูปหกเหลี่ยม |
. |  |
 |
 |
 |
 |
|
จำนวนจุดยอด |
1 |
6 |
15 |
28 |
45 |
66 |
คำอธิบายในการสร้างรูป
จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมนั้นจริงๆ แล้วมันเป็นเพียงแค่จำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยม โดยจำนวนรูปหลายเหลี่ยมจำนวนแรก คือ 1 เสมอ หรือก็คือจุดหนึ่งจุดนั่นเอง จำนวนที่สองเท่ากับจำนวนจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยมรูปนั้น เช่น จำนวนที่สองของจำนวนเชิงรูปห้าเหลี่ยม (Pentagonal Numbers) คือ 5 เพราะว่ารูปห้าเหลี่ยมมี 5 มุม (และ 5 ด้าน) จำนวนที่ 3 ถูกสร้างจากด้านที่อยู่ภายนอกสองด้านของจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยมรูปที่สอง จากนั้นทำให้เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ใหญ่กว่าให้สมบูรณ์ เติมจุดเท่าที่จำเป็นให้ได้รูปหลายเหลี่ยมนั้น และแทนที่จุดยอดและจุดอื่นๆ เท่าที่จำเป็น จำนวนที่ 3 จะสร้างจากการนำผลรวมของจุดยอดมุมและจุดอื่นๆ บนด้านเข้าด้วยกัน (ดูตารางประกอบนะครับ)
ผมอยากจะอธิบายเพิ่มเติมในส่วนการสร้างรูปที่สามครับ (ผมแปลแล้วก็งงเอง)
ยกตัวอย่างจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม
รูปที่ 2 คือ รูปสี่เหลี่ยม
รูปที่ 3 คือ รูปสี่เหลี่ยม รูปนี้สร้างจากเอาด้านสองด้านของสองรูปก่อนหน้า ซึ่งก็คือด้านของรูปที่หนึ่งกับรูปที่สอง มาเติมให้เป็นด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ ด้านของรูปที่ 1 คือจุด . ด้านของรูปที่ 2 คือ .__. ซึ่งเมื่อเอามารวมกันแล้วเติมเส้นเท่าที่จำเป็นก็จะได้เส้นตรงที่มีจุดสามจุด แบบนี้ เอาตัวนี้แหละครับ ไปต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปที่สาม
รูปที่ 4 คือรูปสี่เหลี่ยม รูปนี้สร้างจากเอาด้านสองด้านของสองรูปก่อนหน้า ซึ่งก็คือด้านของรูปที่สองกับรูปที่สาม มาเติมให้เป็นด้านทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมรูปนี้ ด้านของรูปที่ 2 คือ .__. และด้านที่สาม คือ .__.__. ซึ่งเมื่อเอามาต่อกันแล้วเติมเส้นเท่าที่จำเป็นก็จะได้เส้นตรงที่มีจุดสี่จุด แบบนี้ เอาตัวนี้แหละครับ ไปต่อเป็นรูปสี่เหลี่ยมรูปที่สี่
ทำแบบนี้เรื่อยๆ ไป และกับรูปอื่นๆ ด้วยเช่นกันครับ
มีการสร้างสูตรโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Shi-Cheng สำหรับจำนวนเชิงรูป x เหลี่ยมรูปที่ n (อ๊ากกกก…อะไรเนี้ยะ) หาได้จากสูตร
- ถ้า x เป็นจำนวนคู่ แล้ว y = x/2 – 1 จะได้สูตร คือ n + y(n2 – n)
- ถ้า x เป็นจำนวนคี่ แล้ว y = (x – 1)/2 จะได้สูตร คือ (-n2 + 3n + 2n2y – 2ny)/2
สูตรนี้แม้ว่าจะเข้าท่าและใช้งานได้ดี แต่มีการการใช้สูตรอื่นๆ อีก คือสูตรของเจ้าของบทความในภาคภาษาอังกฤษ (สูตรของ Winton) ซึ่งมีความซับซ้อนน้อยกว่า และมีพื้นฐานจากการหาจำนวนเชิงรูป x เหลี่ยมรูปที่ n โดยคุณแค่คูณจำนวนนที่สามในแถวทแยงที่ n ด้วย x – 2 และบวกด้วยจำนวนที่อยู่ในแถวเดียวกันแต่อยู่ในแถวทแยงที่สอง ซึ่งก็จะได้ออกมาเป็นสูตร ((n2 – n)/2)(x – 2) + n
เรียนรู้กับครูอั๋น: เพราะคณิตศาสตร์ขาดไม่ได้ 
ขอบคุณมากๆเลยครับ ทำให้ผมไข้ข้อค่องใจ จนสามารถพิสูจน์ ซิกม่า a^n ได้ทั้งหมดเลยจากบทความนี้
ยินดีครับ
อยากทราบถึงที่มาของสูตร 12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 หน่อยค่ะ
ตามลิงค์นี้เลยนะครับ
สุดติ่งกระดิ่งแมว ทำให้ผม พิสูจย์ สูตร ซิกม่า a^n ได้ทั้งหมดเลย รักเลยยยย
ของ ชื่อ เต็ม ของ winton หน่อยครับ อยากศึกษา
ไม่แน่ใจครับ เดี๋ยวค่นก่อนนะครับ
อยากรู้แนวคิดเพิ่มเติมจากการศึกษาเรื่องจำนวนแบบรูปเชิงสามเหลี่ยม,สี่เหลี่ยมน่ะค่ะ บอกหน่อยได้ไหมคะ
ยังไงหรอครับ???
ครูครับช่วยอธิบาย triangular number อย่างละเอียดหน่อยได่ไหมครับ
พอดีว่าสนใจเรื่องนี้ครับ แต่หาหนังสือไม่เจอเลย
เจอแต่ใน wikipedia แต่เป็นภาษาอังกฤษ ผมไม่รู้เรื่องเลยครับ
ขอบคุณที่สนใจ แต่ยังไม่มีเวลาได้ศึกษาและเขียนเพิ่มเติมเลยครับผม แต่โอกาสต่อไปจะเขียนนะครับ
จะรอติดตามแน่นอนครับ
ขอบคุณครับ
ครูครับพจน์ทั่วไปของจำนวนเชิงรูปหาเหลี่ยมคืออะไรหรอครับแทนตามสูตรแล้วไม่เห็นได้ตรงตามเลยครับ
ตัวไหนครับ รบกวนถามในเพจ แคปรูปมาด้วยครับผม
ไม่เข้าใจจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยม
ตรงไหนครับที่ไม่เข้าใจ จะได้อธิบายเพิ่มครับ
รูป5เหลี่ยมจำนวนที่7-9คืออะไรครับ
การเพิ่มขึ้นแต่ละครั้งมันจะเพิ่มอีกครั้งละ 3 ครับ ลองบวกดู
ยังงงๆอยู่เลยอ่ะครับ
เพิ่มเพิ่มอีก 3 เช่น เพิ่มจาก 4 เป็น 7 เป็น 10
ออกข้อสอบมหิดลด้วยครับปีนี unseen
ไม่เข้าใจจำนวนเชิงรูปสี่เหลี่ยมค่ะ
ครูค่ะ อันนี้เป็นเรื่องเกี่ยวกับควอเทอร์เนียนนะค่ะ
(a0+a1i+a2J+a3k)(a0+a1i+a2J+a3k) แล้วทำไมมันได้ a0ยกกำลังสอง- a1 ยกกำลังสอง-a2ยกกำลังสอง-a3ยกกำลังสอง
ควอเทอร์เนียน คือ อะไรหรือครับ???
ไม่แน่ใจว่าผมมีความรู้เรื่องนี้หรือเปล่า อีกอย่าง ถ่ายมาเป็นภาพ จะดีกว่านะครับ และถ้ามีข้อความอย่างอื่นแวดล้อมด้วยจะขอบคุณมากๆ ครับ
โพสที่เรียนรู้กับครูอั๋น http://www.facebook.com/LearningKruaun/ นะครับ
p_n^q = ∑_(k=0)^(a-1)▒〖(n-2)(k+1)〗 = (n-2)a^2/2-(n-4) a/2 สมการนี้มาจากไหนค่ะ
เอามาจากไหนล่ะครับ…มันคือสมการของการหาอะไรครับ
Click to access poly-pyth.pdf
Pythagorean triple จำนวนสามจำนวนที่เป็นไปตาม PT เช่น 3,4,5 polygonal number จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม น่าจะหมายรวมว่า เป็นเลขชุดปีทาโกรัสที่ปรากฏอยู่ในจำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม (อ่านจากหัวข้อนะครับ เข้าอ่านเอกสารจริงไม่ได้)
อยากรู้ว่าเป็นเรื่องเกี่ยวกับอะไรอ่ะค่ะ
ส่งเนื้อหามาอ่านดูหน่อยครับ
Click to access bircanIMF57-60-2007.pdf
ครับผม เดี๋นวจะลองอ่านดูนะครับ
อันนี้เป็นเนื้อหาทั้งหมด นะค่ะ ขอบคุณมากค่ะ
อ่อ ที่สำคัญให้มาแต่สัญลักษณ์บกับตัวเลข แต่ไม่บอกว่าอะไรแทนอะไร ก็คงยากจะบอกว่าคือสมการอะไรนะครับ
ขอบคุณมากคะครู
^___^
ขอบคุณครับ
สูตร
ถ้า x เป็นจำนวนคู่ แล้ว y = x/2 – 1 จะได้สูตร คือ n + y(n^2 – n)
ถ้า x เป็นจำนวนคี่ แล้ว y = (x – 1)/2 จะได้สูตร คือ (-n^2 + 3n + 2n^2y – 2ny)/2
มายังไงครับ
นสูตร ((n^2 – n)/2)(x – 2) + n ด้วย งงมากๆ
ไม่เคยค้นคว้าหาที่มาครับ แต่มาได้อย่างไร ก็น่าจะมาเหมือนกับสูตรอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ คือ สังเกตจากแบบรูปของจำนวนที่เรียงลำดับกันมา แล้วก็พยายามหาสูตร จากนั้นก็ตรวจสอบว่าใช้กับกรณีอื่นๆ ได้หรือไม่ ทำนองเดียวกับการหาพจน์ทั่วไปของลำดับนั่นแหละครับ หรือการหาสูตรผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง n (สูตรของเกาส์) 1+2+3+…+n = n(n+1)/2 นั่นแหละครับผม
ขอบคุณครับ
ขอบคุณครับ