เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)ⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้

(a+b)⁰ = 1

(a+b)¹ = a+b

(a+b)² = a²+2ab+b²

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b²

(a+b)⁴ = a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

 (a+b)⁵ = a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

(a+b)⁶ = a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶

เราจะเห็นว่าสามารถเขียนแผนภาพเฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินาม (a+b)ⁿ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ได้ดังนี้

n=0                                          1

n=1                                      1      1

n=2                                  1      2      1

n=3                              1      3      3      1

n=4                         1      4      6      4      1

n=5                      1      5      10     10     5     1

n=6                 1      6      15     20    15     6      1

แผนภาพนี้เรียกว่า “สามเหลี่ยมของปาสคาล”

จากสามเหลี่ยมปาสคาล ทำให้เราทราบว่า

1. จำนวนแรกและจำนวนสุดท้ายของแต่ะแถมเท่ากับ 1 เสมอ

2. จำนวนใดๆ ในแต่ละแถว เกิดจากการบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่เหนือจำนวนนั้นๆ ไปทางซ้ายและทางขวาของแถวด้านบนที่ติดกัน

3. สามเหลี่ยมปาสคาลมีลักษณะสมมาตร

4. จำนวนทั้งหมดที่อยุ่ในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ n+1 จำนวน

5. ผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ 2ⁿ

ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem)

จากการพิจารณาสามเหลี่ยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ C_{(n, r)} เมื่อ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ซึ่ง n>r>0 และ C_{(n, r)} = n! / (n-r)! . r! ดังนี้
n=0                                C_{(0, 0)}

n=1                            C_{(1, 0)}  C_{(1, 1)}

n=2                       C_{(2, 0)} C_{(2, 1)}  C_{(2, 2)}

n=3                  C_{(3, 0)} C_{(3, 1)}  C_{(3, 2)} C_{(3, 3)}

n=4             C_{(4, 0)} C_{(4, 1)}  C_{(4, 2)}  C_{(4, 3)} C_{(4, 4)}

n=5        C_{(5, 0)} C_{(5, 1)} C_{(5, 2)} C_{(5, 3)} C_{(5, 4)} C_{(5, 5)}

n=6   C_{(6, 0)} C_{(6, 1)} C_{(6, 2)} C_{(6, 3)} C_{(6, 4)} C_{(6, 5)} C_{(6, 6)}
ดังนั้น สิ่งที่ทราบเพิ่มเติมจากสามเหลี่ยมปาสคาล คือ

(a+b)⁰ = C_{(0, 0)}

(a+b)¹ = aC_{(1, 0)} + bC_{(1, 1)}

(a+b)² = a² C_{(2, 0)} + ab C_{(2, 1)} + b² C_{(2, 2)}

(a+b)³ = a³ C_{(3, 0)} + a²b C_{(3, 1)} + ab² C_{(3, 2)} + b² C_{(3, 3)}

(a+b)⁴ = a⁴ C_{(4, 0)} + a³b C_{(4, 1)} + a²b² C_{(4, 2)} + ab³ C_{(4, 3)} + b⁴ C_{(4, 4)}

(a+b)⁵ = a⁵ C_{(5, 0)} + a⁴b C_{(5, 1)} + a³b² C_{(5, 2)} + a²b³ C_{(5, 3)} + ab⁴ C_{(5, 4)} + b⁵ C_{(5, 5)}

(a+b)ⁿ = aⁿ C_{(n, 0)} + a^(n-1)b C_{(n, 1)} + a^(n-2)b² C_{(n, 2)} + … + a^(n-r)b^r C_{(n, r)} + … + ab^(n-1) C_{(n, n-1)} + bⁿ C_{(n, n)}

จากการกระจายบททวินามข้างต้น จะสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบททวินามได้ ดังนี้

ทฤษฎีบททวินาม

ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง และ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และ  n>r>0  แล้ว

(a+b)ⁿ = aⁿ + a^(n-1)b C_{(n, 1)} + a^(n-2)b² C_{(n, 2)} + … + a^(n-r)b^r C_{(n, r)} + … + ab^(n-1) C_{(n, n-1)} + bⁿ

และเรียก C_{(n, r)} ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม

จากทฤษฎีบททวินาม เราจะได้บทสรุปว่า

1. การกระจายทวินาม(a+b)ⁿ แล้วจะได้ n+1 พจน์

2. เนื่องจาก C_{(n, 0)} = C_{(n, n)} = 1 ทำให้ทราบว่า aⁿ C_{(n, 0)} = aⁿ และ bⁿ C_{(n, n)} = bⁿ

3. กำลังของ a เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 สำหรับกำลังสองของ b เริ่มจาก 0 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n

4. ผลบวกของกำลังของ a กับ b ในแต่ละพจน์ จะเท่ากับ n เสมอ

5. C_{(n, 0)} + C_{(n, 1)} + C_{(n, 2)} + … + C_{(n, n)} = 2ⁿ

6. (a+b)ⁿ = ผลบวกของ a^(n-r)b^r C_{(n, r)} เมื่อ r มีค่าตั้งแต่ 0-n

7. การหาพจน์และสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้เท่ากับ T_r+1 = a^(n-r)b^r C_{(n, r)}

8. C_{(n, r)} = C_{(n-1, r-1)} + C_{(n-1, r)}

9. การหาเศษของการหาร (a+b)ⁿ / a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก สามารถพิจารณาได้จากการหาค่าตัวเศษของ bⁿ / a

10. เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม :

a. (a+b)ⁿ + (a-b)ⁿ = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คี่จากการกระจาย (a+b)ⁿ

b. (a+b)ⁿ – (a-b)ⁿ = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คู่จากการกระจาย (a+b)ⁿ

ตัวอย่างที่ 1  จงกระจาย (2x-3)⁴ ให้อยู่ในรูปผลบวกของพจน์ต่างๆ โดยใช้สามเหลี่ยมของปาสคาล

วิธีทำ   เมื่อเทียบ (2x-3)⁴  กับ (a+b)ⁿ จะพบว่า a = 2x, b = -3 และ n=4

แทนค่าลงในทวินาม
(a+b)ⁿ   = a⁴ +4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

จะได้
(2x-3)ⁿ = (2x)⁴ +4(2x)³(-3) + 6(2x)²(-3)² + 4(2x)(-3)³ + (-3)⁴

(2x-3)ⁿ = 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x+ 81

ดังนั้น (2x-3)ⁿ = 16x⁴ – 96x³ + 216x² – 216x+ 81

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ C_{(n, 0)} + 2C_{(n, 1)} + 2²C_{(n, 2)} + 2³C_{(n, 3)} + … + 2ⁿC_{(n, n)} เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

วิธีทำ             จะพบว่า
(1+2)ⁿ = C_{(n, 0)} + 2C_{(n, 1)} + 2²C_{(n, 2)} + 2³C_{(n, 3)} + … + 2ⁿC_{(n, n)}

3ⁿ      = C_{(n, 0)} + 2C_{(n, 1)} + 2²C_{(n, 2)} + 2³C_{(n, 3)} + … + 2ⁿC_{(n, n)}

ดังนั้น C_{(n, 0)} + 2C_{(n, 1)} + 2²C_{(n, 2)} + 2³C_{(n, 3)} + … + 2ⁿC_{(n, n)} = 3ⁿ

ตัวอย่างที่ 3 สัมประสิทธิ์ของการกระจาย x¹¹ จากการกระจาย [x³+ (1/3x)]⁹ ค่าเท่าไหร่

วิธีทำ   พิจารณาการกระจาย [x³+ (1/3x)]⁹  พบว่า a = x³, b =1/3x และ n = 9

จาก     T_r+1 = a^(n-r)b^r C_{(n, r)}

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    T_r+1 = (x³)^(9-r) (1/3x)^r C_{(9, r)}

= C_{(9, r)} [(x^27-3r)/(3^rx^r)]

= (1/3^r) . C_{(9, r)} . x^27-4r

หาสัมประสิทธิ์ของ x¹¹ นั่นคือ x^27-4r = x¹¹ และ 27-4r = 11,  r = 4

แทนค่า r= 4 ลงในสมการหาพจน์ของการกระจาย

T_r+1 = (1/3^r) . C_{(9, r)} . x^27-4r

T₄₊₁ = (1/3⁴) . C_{(9, 4)} . x^27-4(4)

T₅   = (1/81) . 126 . x¹¹

T₅   = (14/9)x¹¹

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x¹¹ จากการกระจาย [x³+ (1/3x)]⁹ เท่ากับ 14/9

ตัวอย่างที่ 4 ในการกระจาย (xy-2y^-3)⁸ พจน์ที่มีผลบวกของกำลังของ x และ y เท่ากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เท่าใด

วิธีทำ  พิจารณาการกระจาย (xy-2y^-3)⁸ พบว่า a = xy , b = -2y^-3 , n = 8

จาก     T_r+1 = a^(n-r)b^r C_{(n, r)}

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    T_r+1 = (xy)^(8-r) (-2y^-3)^r C_{(8, r)}

= (-2)^r C_{(8, r)} x^8-r y^8-r y^-3r

= (-2)^r C_{(8, r)} x^8-r y^8-4r

หาพจน์ที่ทีผลบวกของกำลังของ x กับ y เท่ากับ –4 นั่นคือ

x^8-r y^8-4r  :      (8-r) + (8-4r) = -4

16-5r = -4

r = 4

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีผลบวกของกำลัง x กับ  เท่ากับ –4 คือ (-2)⁴ C_{(8, 4)} = 1,120

ตัวอย่างที่ 5 ในการกระจาย (x³+(2/x⁶))⁶ พจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ พิจารณาการกระจาย (x³+(2/x⁶))⁶ พบว่า a = x³ , b = 2/x⁶ , n = 6

จาก     T_r+1 = a^(n-r)b^r C_{(n, r)}

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    T_r+1 = (x³)^(6-r) (2/x⁶)^r C_{(6, r)}

                    = (2)^r C_{(6, r)} [(x^18-r)/(x^6r)]

                     = (2)^r C_{(6, r)} x^18-9r

หาพจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย นั่นคือ

x^18-9r = x⁰

ดังนั้น            18-9r = 0

r = 2

นำค่า r ไปแทนในสมการหาพจน์

จะได้             T_r+1 = (2)^r C_{(6, r)} x^18-9r

T₂₊₁ = (2)² C_{(6, 2)} x^18-9(2)

         = 60                            

ดังนั้น  T₂₊₁ = 60

ขอบคุณที่มาดีๆ จาก เว็บคลังความรู้สู่ความเป็นเทศทางวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี