ทฤษฎีบททวินาม

เมื่อพิจารณาการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ จะได้

(a+b)0 = 1

(a+b)1 = a+b

(a+b)2 = a2+2ab+b2

(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b2

(a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

(a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6

เราจะเห็นว่าสามารถเขียนแผนภาพเฉพาะสัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินาม (a+b)n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ ได้ดังนี้

n=0                                          1

n=1                                      1      1

n=2                                  1      2      1

n=3                              1      3      3      1

n=4                         1      4      6      4      1

n=5                      1      5      10     10     5     1

n=6                 1      6      15     20    15     6      1

แผนภาพนี้เรียกว่า “สามเหลี่ยมของปาสคาล”

จากสามเหลี่ยมปาสคาล ทำให้เราทราบว่า

1. จำนวนแรกและจำนวนสุดท้ายของแต่ะแถมเท่ากับ 1 เสมอ

2. จำนวนใดๆ ในแต่ละแถว เกิดจากการบวกของจำนวน 2 จำนวน ที่อยู่เหนือจำนวนนั้นๆ ไปทางซ้ายและทางขวาของแถวด้านบนที่ติดกัน

3. สามเหลี่ยมปาสคาลมีลักษณะสมมาตร

4. จำนวนทั้งหมดที่อยุ่ในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ n+1 จำนวน

5. ผลบวกของจำนวนทุกจำนวนในแถวที่ n มีค่าเท่ากับ 2n


ทฤษฎีบททวินาม
(Binomial Theorem)

จากการพิจารณาสามเหลี่ยมของปาสคาลตามแผนภาพ เราจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปของ C(n, r) เมื่อ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ซึ่ง n>r>0 และ C(n, r) = n! / (n-r)! . r! ดังนี้
n=0                                C(0, 0)

n=1                            C(1, 0)  C(1, 1)

n=2                       C(2, 0) C(2, 1)  C(2, 2)

n=3                  C(3, 0) C(3, 1)  C(3, 2) C(3, 3)

n=4             C(4, 0) C(4, 1)  C(4, 2)  C(4, 3) C(4, 4)

n=5        C(5, 0) C(5, 1) C(5, 2) C(5, 3) C(5, 4) C(5, 5)

n=6   C(6, 0) C(6, 1) C(6, 2) C(6, 3) C(6, 4) C(6, 5) C(6, 6)
ดังนั้น สิ่งที่ทราบเพิ่มเติมจากสามเหลี่ยมปาสคาล คือ

(a+b)0 = C(0, 0)

(a+b)1 = aC(1, 0) + bC(1, 1)

(a+b)2 = a2 C(2, 0) + ab C(2, 1) + b2 C(2, 2)

(a+b)3 = a3 C(3, 0) + a2b C(3, 1) + ab2 C(3, 2) + b2 C(3, 3)

(a+b)4 = a4 C(4, 0) + a3b C(4, 1) + a2b2 C(4, 2) + ab3 C(4, 3) + b4 C(4, 4)

(a+b)5 = a5 C(5, 0) + a4b C(5, 1) + a3b2 C(5, 2) + a2b3 C(5, 3) + ab4 C(5, 4) + b5 C(5, 5)

(a+b)n = an C(n, 0) + a(n-1)b C(n, 1) + a(n-2)b2 C(n, 2) + … + a(n-r)br C(n, r) + … + ab(n-1) C(n, n-1) + bn C(n, n)

จากการกระจายบททวินามข้างต้น จะสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบททวินามได้ ดังนี้


ทฤษฎีบททวินาม

ถ้า a, b เป็นจำนวนจริง และ n, r เป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ และ  n>r>0  แล้ว

(a+b)n = an + a(n-1)b C(n, 1) + a(n-2)b2 C(n, 2) + … + a(n-r)br C(n, r) + … + ab(n-1) C(n, n-1) + bn

และเรียก C(n, r) ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม

จากทฤษฎีบททวินาม เราจะได้บทสรุปว่า

1. การกระจายทวินาม(a+b)n แล้วจะได้ n+1 พจน์

2. เนื่องจาก C(n, 0) = C(n, n) = 1 ทำให้ทราบว่า an C(n, 0) = an และ bn C(n, n) = bn

3. กำลังของ a เริ่มจาก n แล้วลดลงทีละ 1 จนถึง 0 สำหรับกำลังสองของ b เริ่มจาก 0 เพิ่มขึ้นทีละ 1 จนถึง n

4. ผลบวกของกำลังของ a กับ b ในแต่ละพจน์ จะเท่ากับ n เสมอ

5. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n) = 2n

6. (a+b)n = ผลบวกของ a(n-r)br C(n, r) เมื่อ r มีค่าตั้งแต่ 0-n

7. การหาพจน์และสัมประสิทธิ์ทวินาม ได้เท่ากับ Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)

8. C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)

9. การหาเศษของการหาร (a+b)n / a เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก สามารถพิจารณาได้จากการหาค่าตัวเศษของ bn / a

10. เมื่อ n เป็นจำนวนเต็ม :

a. (a+b)n + (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คี่จากการกระจาย (a+b)n

b. (a+b)n – (a-b)n = 2 เท่า ของผลรวมพจน์คู่จากการกระจาย (a+b)n

ตัวอย่างที่ 1  จงกระจาย (2x-3)4 ให้อยู่ในรูปผลบวกของพจน์ต่างๆ โดยใช้สามเหลี่ยมของปาสคาล

วิธีทำ   เมื่อเทียบ (2x-3)4  กับ (a+b)n จะพบว่า a = 2x, b = -3 และ n=4

แทนค่าลงในทวินาม
(a+b)n   = a4 +4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

จะได้
(2x-3)n = (2x)4 +4(2x)3(-3) + 6(2x)2(-3)2 + 4(2x)(-3)3 + (-3)4


(2x-3)n = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x+ 81

ดังนั้น (2x-3)n = 16x4 – 96x3 + 216x2 – 216x+ 81

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลัพธ์ของ C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก

วิธีทำ             จะพบว่า
(1+2)n = C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n)

3n      = C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n)

ดังนั้น C(n, 0) + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + … + 2nC(n, n) = 3n

ตัวอย่างที่ 3 สัมประสิทธิ์ของการกระจาย x11 จากการกระจาย [x3+ (1/3x)]9 ค่าเท่าไหร่

วิธีทำ   พิจารณาการกระจาย [x3+ (1/3x)]9  พบว่า a = x3, b =1/3x และ n = 9

จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    Tr+1 = (x3)(9-r) (1/3x)r C(9, r)

= C(9, r) [(x27-3r)/(3rxr)]

= (1/3r) . C(9, r) . x27-4r

หาสัมประสิทธิ์ของ x11 นั่นคือ x27-4r = x11 และ 27-4r = 11,  r = 4

แทนค่า r= 4 ลงในสมการหาพจน์ของการกระจาย

Tr+1 = (1/3r) . C(9, r) . x27-4r

T4+1 = (1/34) . C(9, 4) . x27-4(4)

T5   = (1/81) . 126 . x11

T5   = (14/9)x11

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของ x11 จากการกระจาย [x3+ (1/3x)]9 เท่ากับ 14/9


ตัวอย่างที่
4 ในการกระจาย (xy-2y-3)8 พจน์ที่มีผลบวกของกำลังของ x และ y เท่ากับ -4 มีสัมประสิทธิ์เท่าใด

วิธีทำ  พิจารณาการกระจาย (xy-2y-3)8 พบว่า a = xy , b = -2y-3 , n = 8

จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    Tr+1 = (xy)(8-r) (-2y-3)r C(8, r)

= (-2)r C(8, r) x8-r y8-r y-3r

= (-2)r C(8, r) x8-r y8-4r

หาพจน์ที่ทีผลบวกของกำลังของ x กับ y เท่ากับ –4 นั่นคือ

x8-r y8-4r  :      (8-r) + (8-4r) = -4

16-5r = -4

r = 4

ดังนั้น สัมประสิทธิ์ของพจน์ที่มีผลบวกของกำลัง x กับ  เท่ากับ –4 คือ (-2)4 C(8, 4) = 1,120


ตัวอย่างที่
5 ในการกระจาย (x3+(2/x6))6 พจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย มีค่าเท่ากับเท่าใด

วิธีทำ พิจารณาการกระจาย (x3+(2/x6))6 พบว่า a = x3 , b = 2/x6 , n = 6

จาก     Tr+1 = a(n-r)br C(n, r)

แทนค่าต่างๆ ลงในสมการข้างต้น

จะได้    Tr+1 = (x3)(6-r) (2/x6)r C(6, r)

                    = (2)r C(6, r) [(x18-r)/(x6r)]

                     = (2)r C(6, r) x18-9r

หาพจน์ที่ไม่มี x อยู่เลย นั่นคือ

x18-9r = x0

ดังนั้น            18-9r = 0

r = 2

นำค่า r ไปแทนในสมการหาพจน์

จะได้             Tr+1 = (2)r C(6, r) x18-9r

T2+1 = (2)2 C(6, 2) x18-9(2)

         = 60                            

ดังนั้น  T2+1 = 60

ขอบคุณที่มาดีๆ จาก เว็บคลังความรู้สู่ความเป็นเทศทางวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ และเทคโนโลยี

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s