สามเหลี่ยมของปาสกาล
(Pascal’s Triangle)
ชุดของจำนวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ทว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบและแสดงให้เห็นความสำคัญ และแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล นี่เองเป็นสาเหตุที่ทำให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำรา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วย เพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบ และพัฒนาขึ้นในระยะแรก
ชนชาติใดบ้างที่สนใจศึกษาเรื่องนี้???
แน่นอนว่า…ไม่มีคนไทยปรากฏในรายชื่อชนชาติที่ศึกษาเรื่องนี้ในอดีต (^^”) ชนชาติที่ให้การศึกษาเรื่องนี้ก่อนที่ปาสกาลจะค้นพบความสวยงามทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้ในงานของเขาที่ชื่อ Traité du triangle arithmétique (1653) เริ่มเดิมทีเป็นแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงวิธีจัดหมู่ (Combination Numbers) และจำนวนทวินาม (Binomial Numbers) และการศึกษาเรื่อง “จำนวนเชิงรูปภาพ” (Figurate numbers) ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกด้วย
หลักฐานเกี่ยวกับการศึกษาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสกาลที่เด่นชัดที่สุด คือการศึกษาสัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficients) ในข้อคิดเห็นเกี่ยวกับ Chandas Shastra ในคริสต์ศตวรรษที่ 10 และในหนังสือฉันทลักษณ์ภาษาสันสกฤตที่เขียนโดย Pingala ในคริสต์ศตวรรษที่ 2 หรือก่อนหน้านั้น ในขณะนั้น Pingala ทำการศึกษาเพียงเรื่องเศษส่วน ให้ข้อเสนอแนะ Halayudha ในราว ค.ศ.975 โดยการใช้สามเหลี่ยมของปาสกาลในการอธิบาย “จำนวนขั้นบันไดของเขาพระสุเมรุ” (Meru-prastaara) ซึ่งก็เหมือนกับการศึกษาผลรวมของจำนวนบนเส้นทแยงมุมที่เป็นจำนวนฟีโบนักชี (Fibonacci Numbers) ด้วย
ในปี 1068 สี่คอลัมน์ของ 16 แถวแรกได้รับการแสดงให้ถึงความสำคัญของวิธีจัดหมู่ โดยนักคณิตศาสตร์นาม Bhattotpala
ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นเอง มันก็ได้กรับการกล่างถึงในเปอร์เซีย (อิหร่านในปัจจุบัน) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนาม Al-Karaji (953-1029) และได้รับการถูกกล่าวถึงซ้ำอีกครั้งโดยกวี นักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนาม Omar Khayyam (1048-1131) ซึ่งทำให้รูปสามเหลี่ยมนี้รู้จักกันนามสามเหลี่ยงขอคัยยาม (Khayyam’s Triangle) ในอิหร่าน ซึ่งสมบัติต่างๆ ที่เป็นที่รู้จัก ได้แก่ ทฤษฎีบททวินาม วิธีการหารากที่ n
ในศตวรรษที่ 13 ยางฮุย (1238-1298) ที่นำเสนอรูปสามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ที่เป็นเช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมยางฮุยในประเทศจีน ซึ่งสามเหลี่ยมนี้เป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ศตวรรษที่ 11 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน นาม เจี่ยอาน (1010-1070)
Petrus Apianus (1495-1552) ที่เผยแพร่รูปสามเหลี่ยมบน ภาพฅรงข้ามของหน้าแรก ของหนังสือเกี่ยวกับการคำนวณทางธุรกิจในศตวรรษที่ 16 นับเป็นหลักฐานเอกสารชิ้นแรกของรูปสามเหลี่ยมปาสกาลที่ปรากฎในยุโรป
ใน อิตาลี เรียกสามเหลี่ยมนี้ว่าสามเหลี่ยมของ Tartaglia การตั้งชื่อตามนักพีชคณิต [คณิตศาสตร์] ชาวอิตาเลียน นาม Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577) Tartaglia ได้ให้เครดิตกับสูตรทั่วไปสำหรับพหุนามของลูกบาศก์ (ซึ่งในความเป็นจริงอาจมาจาก Scipione del Ferro แต่ถูกตีพิมพ์โดย Gerolamo Cardano ในปี ค.ศ.1545)
และในที่สุด พระเอกตัวจริงของเราก็ออกโรง…
ปาสกาลได้ตีพิมพ์ Traité du triangle arithmétique (หนังสือเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเชิงคณิตศาสตร์) ได้รับการตีพิมพ์ใน 1665 ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้วบรวมสมบัติทั้งหลายที่รู้จักกันแล้วเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม และเขาได้นำไปใช้ในการแก้ปัญหาเรื่อง ทฤษฎีความน่าจะเป็น . สามเหลี่ยมนี้ได้รับการเสนอชื่อให้เรียกว่าสามเหลี่ยมของปาสกาลในภายหลังโดย Pierre Raymond de Montmort (1708) เรียกมันว่า ” “Table de M. Pascal pour les combinaisons” หรือ ตารางของปาสการสำหรับวิธีจัดหมู่ (Table of Mr. Pascal for combinations) และ Abraham de Moivre (1730) เรียกมันว่า ” Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM ” (สามเหลี่ยมเลขคณิตของปาสกาล: Pascal’s Arithmetic Triangle) ซึ่งกลายมาเป็นชื่อปัจจุบัน (สมัยใหม่) ในตะวันตก
ปาสกาลเป็นใคร???
แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623 – 1662) เกิดที่เมือง Chermont มลฑล Auverge ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์ และผู้พิพากษา ปาสกาลได้แสดงความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 12 ปี ท่านได้พัฒนาเรขาคณิตเบื้องต้นด้วยตนเอง เมื่ออายุ 14 ปี ท่าเข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส ซึ่งต่อมาในปี 1666 นักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้ได้ร่วมกันสถาปนา French Academic ขึ้น เมื่ออายุ 16 ปี ท่านได้พัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเรขาคณิตโปรเจกทีฟ และเมื่ออายุได้ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข
เป็นที่น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลก
ผลงานที่สำคัญ
น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา และเสียชีวิตเมื่ออายุได้เพียง 39 ปี ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลกทีเดียว
ผลงานที่สำคัญของท่านได้แก่
- Essay pour les conique (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตโปรเจคทีฟที่ท่านได้พัฒนามาก่อนแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี
- Traité du triangle arithmétique (1653) ซึ่งก็คือเรื่องสามเหลี่ยมของปาสกาล หรือสามเหลี่ยมของชาวจีนที่จะกล่าวถึงในบทความนี้
- ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับแฟร์มาต์ ในปี ค.ศ.1654 โดยใช้วิธีการที่ต่างกัน
- เรขาคณิตของเส้นโค้ง Cycloid (1658)
สร้างสามเหลี่ยมปาสกาลได้อย่างไร???
วิธีการสร้างที่พื้นฐานและอธิบายได้ง่ายที่สุด คือ ที่ด้านบนสุดของสามเหลี่ยมปาสกาลให้เป็น 1 ซึ่งเราจะให้เป็นแถวที่ 0 แถวที่ 1 คือ แถวที่มีเลข 1 และ 1 สร้างได้ผลรวมของจำนวนที่อยู่เหนือมันทางซ้ายและทางขวา 2 จำนวน ซึ่งในกรณีนี้คือ 1 และ 0 (ให้ถือว่าจำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมเป็น 0 ทั้งสิ้น) จากนั้นก็ดำเนินการในทำนองเดียวกันนี้ในการสร้างจำนวนในอื่นๆ (ดูภาพประกอบ)
- แถวที่ 2 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 และ 1 + 0 = 1
- แถวที่ 3 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 0 = 1
- …
และสามารถสร้างด้วยวิธีการเดียวกันนี้ในแถวต่อๆ ไป
มีอะไรในสามเหลี่ยมปาสกาล???
แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสาตร์ชาติต่างๆ ได้ศึกษาเซตของจำนวนชุดนี้มาก่อนหน้าปาสกาลแล้วก็ตาม แต่ทว่า แต่ละท่านก็ศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ปาสกาลเป็นคนแรกที่ศึกษาจำนวนชุดนี้ได้ครบถ้วน ซึ่งเราจะมาเรียนรู้กันว่ามีอะไรบ้าง (คลิกอ่านแต่ละหัวข้อนะครับ)
- ผลรวมของจำนวนในแต่ละแถว
- จำนวนเฉพาะ
- แบบรูปไม้ตีฮ็อกกี้
- มหัศจรรย์ของ 11
- ลำดับฟีโบนักชี
- จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม||จำนวนเชิงสามเหลี่ยม||จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม||
- จำนวนจุดบนวงกลม
- ความเชื่อมโยงกับสาเหลี่ยม Sierpinski
- วิธีจัดหมู่
- ทฤษฎีบททวินาม
เอกสาร/แหล่งข้อมูลหลักในการเขียน
- Pascal’s Triangle and Its Patterns. (All You Ever Wanted to Know About Pascal’s Triangle and more. (Access on July 2012). Available: http://ptri1.tripod.com/
- ascal’s Triangle. (Access on July 2012). Available: http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal’s_Triangle
สุดยอดมากค่ะคุณครู ขอบคุณมากที่ให้ความรู้นะคะ
ยินดีครับ
ได้ความรู้และความเข้าใจดีมากค่ะ. ครูอั๋นทำได้เยี่ยมจริงๆค่ะ
ขอบคุณครับ แปลมาจากบทความของฝรั่งน่ะครับ
ให้ความรู้ดีมากค่ะ
ดีจังครับ
สามเหลี่ยมปาสคาล ใช้หา Lucas numbers และ Pell and Lucas numbers ได้ยังไงครับ
อันนี้ไม่แน่ใจครบ ผมไม่รู้จัก Pell and Lucas numbers แต่จะลองค้นดูนะครับ
เพิ่งเรียนตอนป.6คะครูให้หาข้อมูลมีประโยชน์มากคะ ขอบคุณคะ
ยินดีครับ
พี่ค่ะ vandermonde คืออะไรค่ะ มันเกี่ยวกะปาสคาลยังงไง
พี่ก็ไม่รู้เหมือนกันครับ พึ่งได้ยินจากน้องครั้งแรกนี่แหละ แต่ว่าลองค้นดูแล้วครับ ลองหาอ่านดู มันพูดถึงพหุนามด้วย ก็น่าจะเกี่ยวกันแหละครับ แต่ยังไม่ได้อ่านละเอียด น้องลองอ่านดู ลิงค์พวกนี้น่าสนใจอยู่ครับ
Click to access 17.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde%27s_identity (ลิงค์นี้มีสมการน่่าสนใจอยู่สมการหนึ่ง ซึ่งน่าจะเกี่ยวกับเรื่องสัมประสิทธิ์ทวินาม)
http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix
แล้วว่างๆ จะนั่งแปลอย่างละเอียดครับ
ขอบคุณที่เข้ามาเล่นในบล็อกนะครับ
เข้าใจง่ายมากค่ะ แถมยังสอนสนุกด้วย
ขอบคุณมาค่ะ
ขอบคุณเช่นกันครับ
เยี่ยมมากเลยค่ะ
ขอบคุณมากๆ ครับที่เข้ามาติชม