สามเหลี่ยมของปาสกาล

(Pascal’s Triangle)

ภาพประกอบที่ 1 สามเหลี่ยมของชาวจีน	ภาพประกอบที่ 2 สามเหลี่ยมของปาสกาล

ชุดของจำนวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ทว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบและแสดงให้เห็นความสำคัญ และแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล นี่เองเป็นสาเหตุที่ทำให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำรา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วย เพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบ และพัฒนาขึ้นในระยะแรก

ชนชาติใดบ้างที่สนใจศึกษาเรื่องนี้???

แน่นอนว่า…ไม่มีคนไทยปรากฏในรายชื่อชนชาติที่ศึกษาเรื่องนี้ในอดีต (^^”) ชนชาติที่ให้การศึกษาเรื่องนี้ก่อนที่ปาสกาลจะค้นพบความสวยงามทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้ในงานของเขาที่ชื่อ Traité du triangle arithmétique (1653) เริ่มเดิมทีเป็นแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงวิธีจัดหมู่ (Combination Numbers) และจำนวนทวินาม (Binomial Numbers) และการศึกษาเรื่อง “จำนวนเชิงรูปภาพ” (Figurate numbers) ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกด้วย

หลักฐานเกี่ยวกับการศึกษาเกี่ยวกับสามเหลี่ยมปาสกาลที่เด่นชัดที่สุด คือการศึกษาสัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficients) ในข้อคิดเห็นเกี่ยวกับ Chandas Shastra ในคริสต์ศตวรรษที่ 10 และในหนังสือฉันทลักษณ์ภาษาสันสกฤตที่เขียนโดย Pingala ในคริสต์ศตวรรษที่ 2 หรือก่อนหน้านั้น ในขณะนั้น Pingala ทำการศึกษาเพียงเรื่องเศษส่วน ให้ข้อเสนอแนะ Halayudha ในราว ค.ศ.975 โดยการใช้สามเหลี่ยมของปาสกาลในการอธิบาย “จำนวนขั้นบันไดของเขาพระสุเมรุ” (Meru-prastaara) ซึ่งก็เหมือนกับการศึกษาผลรวมของจำนวนบนเส้นทแยงมุมที่เป็นจำนวนฟีโบนักชี (Fibonacci Numbers) ด้วย

ในปี 1068 สี่คอลัมน์ของ 16 แถวแรกได้รับการแสดงให้ถึงความสำคัญของวิธีจัดหมู่ โดยนักคณิตศาสตร์นาม Bhattotpala

ในช่วงเวลาเดียวกันนั้นเอง มันก็ได้กรับการกล่างถึงในเปอร์เซีย (อิหร่านในปัจจุบัน) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนาม Al-Karaji (953-1029)  และได้รับการถูกกล่าวถึงซ้ำอีกครั้งโดยกวี นักดาราศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียนาม Omar Khayyam (1048-1131) ซึ่งทำให้รูปสามเหลี่ยมนี้รู้จักกันนามสามเหลี่ยงขอคัยยาม (Khayyam’s Triangle) ในอิหร่าน ซึ่งสมบัติต่างๆ ที่เป็นที่รู้จัก ได้แก่ ทฤษฎีบททวินาม วิธีการหารากที่ n

ในศตวรรษที่ 13 ยางฮุย (1238-1298) ที่นำเสนอรูปสามเหลี่ยมทางคณิตศาสตร์ที่เป็นเช่นเดียวกับรูปสามเหลี่ยมของปาสคาล ซึ่งเรียกว่าสามเหลี่ยมยางฮุยในประเทศจีน ซึ่งสามเหลี่ยมนี้เป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ศตวรรษที่ 11 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน นาม เจี่ยอาน (1010-1070)

Petrus Apianus (1495-1552) ที่เผยแพร่รูปสามเหลี่ยมบน ภาพฅรงข้ามของหน้าแรก ของหนังสือเกี่ยวกับการคำนวณทางธุรกิจในศตวรรษที่ 16 นับเป็นหลักฐานเอกสารชิ้นแรกของรูปสามเหลี่ยมปาสกาลที่ปรากฎในยุโรป

ใน อิตาลี เรียกสามเหลี่ยมนี้ว่าสามเหลี่ยมของ Tartaglia การตั้งชื่อตามนักพีชคณิต [คณิตศาสตร์] ชาวอิตาเลียน นาม Niccolò Fontana Tartaglia (1500-1577) Tartaglia ได้ให้เครดิตกับสูตรทั่วไปสำหรับพหุนามของลูกบาศก์ (ซึ่งในความเป็นจริงอาจมาจาก Scipione del Ferro แต่ถูกตีพิมพ์โดย Gerolamo Cardano ในปี ค.ศ.1545)

และในที่สุด พระเอกตัวจริงของเราก็ออกโรง…

ปาสกาลได้ตีพิมพ์ Traité du triangle arithmétique (หนังสือเกี่ยวกับสามเหลี่ยมเชิงคณิตศาสตร์) ได้รับการตีพิมพ์ใน 1665 ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้วบรวมสมบัติทั้งหลายที่รู้จักกันแล้วเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม และเขาได้นำไปใช้ในการแก้ปัญหาเรื่อง ทฤษฎีความน่าจะเป็น . สามเหลี่ยมนี้ได้รับการเสนอชื่อให้เรียกว่าสามเหลี่ยมของปาสกาลในภายหลังโดย Pierre Raymond de Montmort (1708) เรียกมันว่า ” “Table de M. Pascal pour les combinaisons” หรือ ตารางของปาสการสำหรับวิธีจัดหมู่ (Table of Mr. Pascal for combinations) และ Abraham de Moivre (1730) เรียกมันว่า ” Triangulum Arithmeticum PASCALIANUM ” (สามเหลี่ยมเลขคณิตของปาสกาล: Pascal’s Arithmetic Triangle) ซึ่งกลายมาเป็นชื่อปัจจุบัน (สมัยใหม่) ในตะวันตก

ปาสกาลเป็นใคร???

แบลส  ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623 – 1662) เกิดที่เมือง Chermont มลฑล Auverge ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์ และผู้พิพากษา ปาสกาลได้แสดงความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 12 ปี ท่านได้พัฒนาเรขาคณิตเบื้องต้นด้วยตนเอง เมื่ออายุ 14 ปี ท่าเข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส ซึ่งต่อมาในปี 1666 นักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้ได้ร่วมกันสถาปนา French Academic ขึ้น เมื่ออายุ 16 ปี ท่านได้พัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเรขาคณิตโปรเจกทีฟ และเมื่ออายุได้ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข

เป็นที่น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลก

ผลงานที่สำคัญ

น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา และเสียชีวิตเมื่ออายุได้เพียง 39 ปี ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลกทีเดียว

ผลงานที่สำคัญของท่านได้แก่

1. Essay pour les conique (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตโปรเจคทีฟที่ท่านได้พัฒนามาก่อนแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี
2. Traité du triangle arithmétique (1653) ซึ่งก็คือเรื่องสามเหลี่ยมของปาสกาล หรือสามเหลี่ยมของชาวจีนที่จะกล่าวถึงในบทความนี้
3. ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับแฟร์มาต์ ในปี ค.ศ.1654 โดยใช้วิธีการที่ต่างกัน
4. เรขาคณิตของเส้นโค้ง Cycloid (1658)

สร้างสามเหลี่ยมปาสกาลได้อย่างไร???

วิธีการสร้างที่พื้นฐานและอธิบายได้ง่ายที่สุด คือ ที่ด้านบนสุดของสามเหลี่ยมปาสกาลให้เป็น 1 ซึ่งเราจะให้เป็นแถวที่ 0 แถวที่ 1 คือ แถวที่มีเลข 1 และ 1 สร้างได้ผลรวมของจำนวนที่อยู่เหนือมันทางซ้ายและทางขวา 2 จำนวน ซึ่งในกรณีนี้คือ 1 และ 0 (ให้ถือว่าจำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมเป็น 0 ทั้งสิ้น) จากนั้นก็ดำเนินการในทำนองเดียวกันนี้ในการสร้างจำนวนในอื่นๆ (ดูภาพประกอบ)

• แถวที่ 2 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 และ 1 + 0 = 1
• แถวที่ 3 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 0 = 1
• …

และสามารถสร้างด้วยวิธีการเดียวกันนี้ในแถวต่อๆ ไป

มีอะไรในสามเหลี่ยมปาสกาล???

แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสาตร์ชาติต่างๆ ได้ศึกษาเซตของจำนวนชุดนี้มาก่อนหน้าปาสกาลแล้วก็ตาม แต่ทว่า แต่ละท่านก็ศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ปาสกาลเป็นคนแรกที่ศึกษาจำนวนชุดนี้ได้ครบถ้วน ซึ่งเราจะมาเรียนรู้กันว่ามีอะไรบ้าง (คลิกอ่านแต่ละหัวข้อนะครับ)

1. ผลรวมของจำนวนในแต่ละแถว
2. จำนวนเฉพาะ
3. แบบรูปไม้ตีฮ็อกกี้
4. มหัศจรรย์ของ 11
5. ลำดับฟีโบนักชี
6. จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม||จำนวนเชิงสามเหลี่ยม||จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม||
7. จำนวนจุดบนวงกลม
8. ความเชื่อมโยงกับสาเหลี่ยม Sierpinski
9. วิธีจัดหมู่
10. ทฤษฎีบททวินาม

เอกสาร/แหล่งข้อมูลหลักในการเขียน

• Pascal’s Triangle and Its Patterns. (All You Ever Wanted to Know About Pascal’s Triangle and more. (Access on July 2012). Available: http://ptri1.tripod.com/
• ascal’s Triangle. (Access on July 2012). Available: http://en.wikipedia.org/wiki/Pascal’s_Triangle