จำนวนใหญ่ๆ

หากมีคนถามคุณว่า เลขที่มากที่สุดที่คุณรู้จักคือเลขอะไร และเลขมากมีประโยชน์อย่างไร หรือเขาให้คุณคิดคำนวณเลข 200 หลัก เช่นให้แยกตัวประกอบ (factor) หรือคูณกัน หรือหารกัน คุณจะตอบได้ไหม คุณจะทำได้ไหม

นักคณิตศาสตร์กรีกและโรมันได้เคยคิดคำนึงถึงเรื่อง เล่ขมาก (large number) มาตั้งแต่สมัยโบราณ ในสมัยนั้น ตำราคณิตศาสตร์โรมันไม่มีสัญลักษณ์ที่ใช้แทนที่เลขที่มีค่าเกิน 100,000 เลย Archimedes ก็เคยคิดว่า จำนวนเม็ดทรายที่เราต้องใช้ในการเติมจักรวาลให้เต็มคือ เลขที่มากที่สุดที่มนุษย์รู้จัก

ปัจจุบันเรารู้รัศมีวงโคจรของดาวพลูโตรอบดวงอาทิตย์ ดังนั้นหากเราใช้ทรงกลมที่มีรัศมีขนาดนั้นแล้วใส่ทรายให้เต็ม เราจะต้องการทราย 1051 เม็ด (1051 = 10 คูณตัวเองซ้ำกัน 51 ครั้ง)

นักวิทยาศาสตร์ในยุคกลาง คือ สมัยคริสต์ศตวรรษที่ 19 ได้เริ่มเผชิญกับเลขมากเป็นครั้งแรกในเลข Avogadro (Avogadro’s number) ซึ่งมีค่า 6.02 × 1023 (เลขนี้บอกจำนวนอะตอมที่มีในถ่านบริสุทธิ์ที่หนัก 12 กรัม) มาถึงยุคปัจจุบัน นักฟิสิกส์ที่เชี่ยวชาญด้านอนุภาคมูลฐานคาดคะเนว่า จักรวาล (Universe) มีอนุภาคโปรตอนทั้งสิ้น 1080 อนุภาค เป็นต้น

เพื่อให้เกิดความรู้สึกว่าเลขมากที่กล่าวถึงในที่นี้มีขนาดมหาศาลปานใด เราจะเปรียบเทียบเลขมากต่างๆ ให้เห็นเป็นรูปธรรมดังนี้

นักวิทยาศาสตร์คาดคะเนว่า จักรวาลมีอายุประมาณ 1010 ปี นี่คือเลข 1 ที่มี 0 ตามหลัง 10 ตัว เลข 11 หลักเช่นนี้ หากจะพิมพ์ลงกระดาษต้องการเนื้อที่ประมาณ 1/4 บรรทัด

 

หากเรากล่าวถึงเลข 1080 ซึ่งเป็นจำนวนของอนุภาคโปรตอนในจักรวาล คือ เลข 1 ที่มี 0 ตามหลัง 80 ตัว เราต้องการพื้นที่เขียนประมาณ 2 บรรทัด

เลข 21,398,269 – 1 ซึ่งเป็นเลขเฉพาะ (prime number) ที่มีค่ามากที่สุด (เท่าที่รู้จักในปัจจุบัน) ต้องการพื้นที่เขียนตัวเลขทั้งหมดใหญ่

เท่าวารสารฉบับย่อมๆ 1 ฉบับ

เลข Fermat (Fn = 22n + 1 ซึ่งมี n เป็นเลขจำนวนเต็ม หาก n มีค่าเท่ากับ 22, F22 = 2222 + 1 จะมีเลขที่มีตัวเลขกว่าหนึ่งล้าน

หลัก ในการเขียนเลข F22 นี้ต้องใช้หนังสือหนา 400 หน้า 1 เล่ม จึงจะเขียนเลขจำนวนนี้ได้หมด

และหากเราต้องการเขียนเลข 101033 ให้เต็มรูปแบบ เราก็ต้องการกระดาษที่มีปริมาตรเท่าโลกจึงจะเขียนได้หมด

แล้วเลขมากเหล่านี้จะเข้ามาเกี่ยวข้องกับชีวิตเราๆ ในชาตินี้หรือชาติหน้าบ้างหรือไม่ คำตอบก็คือ คงไม่มาก นอกจากเราจะเป็นนักคณิตศาสตร์ หรือนักวิทยาศาสตร์

จะขอยกตัวอย่างทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับเลขมากดังนี้คือ นักสถิติได้คำนวณพบว่า หากจะให้ลิงตัวหนึ่งพิมพ์ดีดตลอดเวลา โดยที่ลิงพิมพ์ดีดไม่เป็น คือมันเพียงแต่กดแป้นพิมพ์เท่านั้น เราต้องคอยนานถึง 103,000,000 ปี ลิงตัวนั้นจึงจะพิมพ์นวนิยายเรื่อง The Hound of the Baskervilles ของ Sir Arthur Conan Doyle ได้ถูกทุกตัวอักษร (คงไม่ลืมกันว่า นับถึงวันนี้จักรวาลของเรามีอายุเพียง 1010 ปี)

ส่วนนักฟิสิกส์ก็พบว่า จะต้องใช้เวลานานถึง 101033 ปี แก้วเบียร์จึงจะล้มเองโดยไม่มีใครแตะต้อง และโอกาสที่อะตอมทุกอะตอมในตัวคนหนึ่งๆ จะพุ่งพาคนๆ นั้นไปถึงดาวอังคารมีค่า 1 ใน 101051

หรือ J. Littlewood ก็ได้เคยคำนวณพบว่า โอกาสที่หนูตัวหนึ่งจะมีชีวิตอยู่บนดวงอาทิตย์ ได้นาน 1 สัปดาห์ มีค่า 1 ใน 101042 เช่นนี้ เป็นต้น

คุณสมบัติข้อหนึ่งของเลขมากที่นักคณิตศาสตร์สนใจ คือ การที่เลขมากสามารถแยกเป็นตัวประกอบได้

 

เราทุกคนคงรู้จักเลขเฉพาะ (prime number) ว่าเป็นเลขจำนวนเต็มที่ตัวมันเองและเลข 1 เท่านั้นที่หารมันได้ลงตัว ดังนั้น ตามคำจำกัดความนี้ เลขเฉพาะจึงได้แก่เลข 2, 3, 5, 7,11 … แต่เลข 15 ซึ่งเท่ากับ 3 × 5 ก็ไม่เป็นเลขเฉพาะ เพราะทั้ง 3 และ 5 ต่างก็หาร 15 ได้ เราจึงเรียก 3 และ 5 ว่าเป็นตัวประกอบของ 15

ปัญหาหนึ่งที่นักคณิตศาสตร์สนใจ คือ เขาต้องการจะรู้ว่าโลกนี้มีเลขเฉพาะอะไรบ้าง และเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุดคือเลขอะไร และเรามีสูตรสำเร็จที่จะใช้หาเลขเฉพาะได้ทุกเลขหรือไม่

สำหรับคำถามที่ว่า เลขเฉพาะมีกี่จำนวนนั้น Euclid ได้เคยพิสูจน์ไว้เมื่อ 2,300 ปีก่อนนี้ว่า เลขเฉพาะมีจำนวนมากนับไม่ถ้วน (Infinite)

แล้วสูตรที่จะใช้คำนวณหาเลขเฉพาะนั้นเล่า นักคณิตศาสตร์ก็ยังไม่มีสูตรสำเร็จที่จะใช้หาเลขเหล่านี้เลย ในอดีต P. Fermat ได้เคยคิดว่า

สูตร Fn = 22n + 1 จะบอกให้เรารู้ว่า เลขเฉพาะมีเลขอะไรบ้าง และเมื่อเราแทนค่า n ด้วย 1, 2, 3, 4… เราได้เลข 5, 17, 257 และ 65, 537 แต่เมื่อ

เราแทนค่า n = 5 เราได้ F5 = 4,294,967,297 ซึ่ง Euler ได้พบว่า = 641 × 6,700,417 ดังนั้นสูตรของ Fermat จึงใช้ไม่ได้เมื่อ n = 5

ส่วนคำถามที่ว่า เลขเฉพาะที่มากที่สุดที่เรารู้จัก คือเลขอะไรนั้น นักคณิตศาสตร์ก็ต้องเผชิญกับความยากลำบากในการคิด เมื่อต้องคำนวนเลขร้อยหลัก พันหลัก เขา

จึงใช้คอมพิวเตอร์คำนวณแทน คอมพิวเตอร์ธรรมดาต้องใช้เวลานาน 38.3 นาที จึงพิสูจน์ได้ว่า 2193 – 1 ไม่ได้เป็นเลขเฉพาะ เพราะ 2193 – 1 = 13,821,503 × 61,654,440,233,248,340,616,559 × 1,473,265,321,145,317,331,353,282,383 แต่ปัจจุบันนี้ Supercomper มีโปรแกรมที่สามารถทดสอบความเป็นหรือไม่เป็นเลขเฉพาะ

ของเลขที่มี 130 หลัก ได้เร็วกว่าที่ตาจะกะพริบ

เมื่อเดือนกรกฎาคม พ.ศ.2532 D.Slowinski แห่ง Cray Research ประกาศว่า สถิติโลกของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ 21,259,787 – 1 พออีก 3 เดือนต่อมา G. Woltman แห่งเมือง

Orlando ในรัฐฟลอริดา ซึ่งอาศัยความร่วมมือของนักคณิตศาสตร์นับร้อย และ Internet ประกาศว่า สถิติโลกใหม่ของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด คือ 21,398,269 – 1ตัวเลขดังกล่าวนี้มีกว่า

400,000 หลัก และนี่ก็คือสถิติโลกของเลขเฉพาะที่มีค่ามากที่สุด ณ วินาทีนี้

เลขมากทั้งหลายที่กล่าวมาทั้งหมดนี้เป็นเพียงหยดน้ำหยดหนึ่งในมหาสมุทรที่กว้างใหญ่ไพศาล เพราะถ้าหากเราพูดถึงเลข Ackermann ซึ่ง = 101034 เราจะต้องใช้กระดาษขนาดเท่าจักรวาล จึงจะ

เขียนมันได้หมดทุกหลัก

 

ขอบคุณข้อมูลดีๆ จาก http://www.scimath.org/index.php/matharticle/item/2032-large-number-

2 thoughts on “จำนวนใหญ่ๆ

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s