นฤพนธ์  สายเสมา รวบรวมและเรียบเรียง

เมื่อประมาณกลางสมัยกรุงศรีอยุธยา หรือประมาณ พ.ศ. 2180 มีนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสคนหนึ่ง ซึ่งมีความรู้ทั้งทางด้านกฎหมาย บทกวี วรรณคดี ตามแบบฉบับของนักปราชญ์ของยุโรปในสมัยนั้น ชื่อ ปีแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) ได้เสนอทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ซึ่งนักคณิตศาสตร์ในรุ่นหลังๆ ให้ชื่อว่า “ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์” (Fermat’s Last Theorem) แฟร์มาต์เสนอทฤษฎีบทคล้ายกับการเสนอทฤษฎีทางเรขาคณิต กล่าวคือ เมื่อเสนอแล้วก็ต้องมีการพิสูจน์ว่าข้อเสนอนั้นถูกต้อง แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ได้เป็นเวลากว่า 3 ทศวรรษครึ่ง แม้แต่แฟร์มาต์เองก็ไม่สามารถแสดงบทพิสูจน์ไว้ แฟร์มาต์เขียนไว้ในที่ว่างของกระดาษของหนังสือที่เสนอเรื่องนี้ว่า “ข้าพเจ้าได้พบบทพิสูจน์ที่นับว่ามหัศจรรย์ยิ่ง แต่ไม่สามารถจะเขียนบทพิสูจน์นี้ลงไปในที่ว่างเล็กๆ นี้ได้” แต่ว่าข้อเท็จจริงก็คือ  แฟร์มาต์ยังมีชีวิตยืนยาวอยู่จากวันนั้นถึง 28 ปี  แต่หาได้แจงบทพิสูจน์นี้ออกมาไม่  นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อๆ มาจึงพากันเชื่อว่าแฟร์มาต์ไม่ได้พบบทพิสูจน์ดังที่อ้างอิงแต่อย่างใด

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ดูเป็นของพื้นๆ แต่การพิสูจน์นั้นไม่พื้นๆ อย่างตัวทฤษฎีเลย  เราทราบกันดีว่า  สมการ   นี้เป็นไปได้ (ก็ทฤษฎีบทปีทาโกรัสนั่นแหละครับ) เพราะสามารถหาจำนวนเต็มที่เป็นบวกอย่างน้อย 1 ชุด เมื่อแทนค่า x, y และ z แล้ว จะสอดคล้องกับสมการนี้ได้ ในกรณีนี้ คือ 3, 4 และ 5 ชุดหนึ่ง เพราะว่า 3² + 4² = 5²  ชุดต่อไปคือ 5, 12 และ 13 เพราะว่า 5² + 12² = 13² และอื่นๆ

ต่อไปนี่จะกล่าวถึงทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ (ชื่อว่าบทสุดท้าย แต่จริงๆ ไม่ใช่สุดท้ายในชีวิต แต่เป็นสุดท้ายของหนังสือ)

บทพิสูจน์ได้กลายเป็นจุดท้าทายของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกในช่วง 350 ปีที่ผ่านมา มีนักคณิตศาสตร์มือดีหลายต่อหลายคนได้พยายามพิสูจน์  แต่ก็ไม่ประสบความสำเร็จ (เหมือนสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดเลย) แต่ความพยายามของนักคณิตศาสตร์เหล่านั้นบางท่านได้ผลพลอยได้อยู่ที่ได้เปิดแขนงของคณิตศาสตร์ใหม่ๆ ขึ้นมา (นี่ก็เหมือน)

เมื่อประมาณปี พ.ศ. 2531 ได้มีนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นคนหนึ่ง ชื่อ โยอิชิ มิยาโอกะ ซึ่งทำท่าว่าจะสร้างบทพิสูจน์ขึ้นมาได้  ในบทพิสูจน์ของโยอิชินี้ดูเหมือนจะชี้ให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กับเรขาคณิตแกนโค้ง (คืออะไรหว่า) แต่ปรากฏว่าบทพิสูจน์ของโยอิชิก็ต้องล้มเหลว เหมือนกับบทพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ก่อนหน้านั้น

ในที่สุดความพยายามตลอด 350 ปี ของนักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็เป็นผล  เป็นเรื่องฮือฮาอย่างสุดยอดในวงการคณิตศาสตร์  เมื่อมีนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษชื่อ แอนดรูว์ จอห์น ไวลส์ (Andrew John Wiles) ซึ่งเป็นอาจารย์สอนอยู่ที่มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (PrincetonUniversity) สหรัฐอเมริกา (ที่เดียวกับจอห์น แนช เลย) ได้ไปแสดงปาฐกถาที่มหาวิทยาลัยแคมบริดจ์ ประเทศอังกฤษ (CambridgeUniversity) เมื่อราวๆ ปลายเดือนมิถุนายน 2536 และประกาศว่าได้ค้นพบบทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แล้ว พร้อมทั้งเสนอข้อพิสูจน์อย่างย่อๆ

บทพิสูจน์สมการฉบับสมบูรณ์ของไวลส์นั้นยาวถึง 200 หน้า บทพิสูจน์ส่วนหนึ่งเป็นคำตอบของปริศนาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า “ข้อคาดเดาของตานิยามา-ชิมุระ” (Shimura-Taniyama-Weil Conjecture)  ซึ่งพูดถึงเรื่องเส้นโค้งของวงรี  อันที่จริงนักคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยเบอร์กลีย์คนหนึ่งชื่อ รีเบท (Ribet) ได้เคยบอกใบ้ไว้ว่าคำตอบของปริศนานี้น่าจะเป็นแนวทางสำหรับทำการบทพิสูจน์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์  และไวลส์ก็ได้ทำตามนั้น  แต่นักคณิตศาสตร์ระดับชั้นนำของโลกก็ยอมรับว่าบทพิสูจน์ของไวลส์มีแนวทางที่เป็นการสร้างสรรค์ที่มหัศจรรย์  กล่าวคือ  นำสิ่งที่ซับซ้อนมากมายหลายชั้นเข้ามาประสานกันเป็นบทพิสูจน์ที่สวยงามได้สำเร็จ

ปัญหาที่เราต้องถามกันอีกข้อหนึ่ง คือ  เป็นไปได้หรือไม่ที่บทพิสูจน์ของไวลส์อาจจะผิดและต้องแทงเข้าบัญชีความล้มเหลวอย่างที่แล้วๆ มา  คำตอบคือมีทางที่ไวลส์จะผิดได้แต่ค่อนข้างยาก  ผู้เชี่ยวชายหรือนักคณิตศาสตร์ที่สามารพที่จะยืนยันหรือตรวจสอบบทพิสูจน์ของไวลส์ดูว่าถูกหรือไม่นั้นมีจำนวนไม่มากนัก  คือ  ประมาณ 200 ถึง 300 คน  เท่านั้น  และมีนักคณิตศาสตร์เพียง 10 คน เท่านั้นที่สามารถอ่านบทพิสูจน์ของเขาอย่างเข้าใจแจ่มแจ้ง  หลังจากการตรวจก็พบว่ามีจุดที่ผิดอยู่เล็กน้อยและได้แก้ไขอยู่ 14 เดือน จนกระทั่งถูกต้องและคำยืนยันก็ออกมาแล้วว่าถูกต้องใช้ได้ และมีการตีพิมพ์ออกมาอย่างเป็นทางการในวารสาร Journal of Mathematics ฉบับเดือนพฤศจิกายน ปี พ.ศ. 2538

และปัญหาอีกข้อที่ว่า  บทพิสูจน์ของไวลส์จะทำให้วงการคณิตศาสตร์ซบเซาเพราะไม่มีอะไรจะให้คิดกันอีกแล้วหรือไม่นั้น  คำตอบก็คือ  การแก้ปัญหาใดๆ ในโลกไม่ว่าจะเป็นการทำบทพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์หรือการแก้ปัญหาพื้นๆ อื่นๆ ก็ตาม มักจะทำให้เกิดหรือเห็นปัญหาอื่นๆ กว้างขวางขึ้นไปอีก  สำหรับบทพิสูจน์ของไวลส์นั้น  จะทำให้เกิดปริศนาคณิตศาสตร์อื่นๆ อีก  ซึ่งจะช่วยให้นักคณิตศาสตร์มีงานทำในแนวนี้อีกอย่างน้อยไม่ต่ำกว่า 350 ปีเลยทีเดียว

เอกสารอ้างอิง

เฉลียว  มณีเลิศ. (2536, กรกฎาคม – ธันวาคม).  “อวสานทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์,”  สสวท.  21(83) : 42 – 43.

ณรงค์  ปั้นนิ่ม.  (2531).  ทฤษฎีจำนวน = Theory of Number. กรุงเทพฯ : ภาควิชาคณิตศาสตร์คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ ประสานมิตร.

มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ บางเขน. ภาควิชาคณิตศาสตร์.  (2530).  ประวัตินักคณิตศาสตร์.  กรุงเทพฯ : สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยในพระบรมราชูปถัมภ์.

Bruno,  Leonard  C.  (1999).  Math  and  Mathematicians : the History of Math  Discoveries  Around  the World. Detroit : U – X – L.

O’Connor, J. J. and Robertson, E. F.  (1996). Fermat’s last theorem.  (Online). Available: URL http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/
Fermat’s_last_theorem.html

Solving Fermat: Andrew Wiles.  (2000, November). (Online). Available: URL http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html