ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วงกลมหนึ่งหน่วยแบบที่เราคุ้นเคยกัน

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine) sin \sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
โคไซน์ (Cosine) cos \cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)\,
แทนเจนต์ (Tangent) tan
(หรือ tg)
\tan \theta = \frac{1}{\cot \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)  \,
โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot
(หรือ ctg หรือ ctn)
\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
ซีแคนต์ (Secant) sec \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \csc \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,
โคซีแคนต์ (Cosecant) csc
(หรือ cosec)
\csc \theta =\frac{1}{\sin \theta} = \sec \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \,

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันเหล่านี้ อยู่ในบทความเรื่อง เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

นิยามจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะมีมุมหนึ่งมีขนาด 90° (π/2 เรเดียน) ในที่นี้คือ C ส่วนมุม A กับ B นั้นเปลี่ยนแปลงได้ ฟังก์ชันตรีโกณมิติกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านและมุมภายในรูปสาม เหลี่ยมมุมฉาก

ในการนิยามฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุม A เราจะกำหนดให้มุมใดมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเป็นมุม A

เรียกชื่อด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยมตามนี้

  • ด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉาก หรือเป็นด้านที่ยาวที่สุดของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ในที่นี้คือ h
  • ด้านตรงข้าม (opposite side) คือด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมที่เราสนใจ ในที่นี้คือ a
  • ด้านประชิด (adjacent side) คือด้านที่อยู่ติดกับมุมที่เราสนใจและมุมฉาก ในที่นี้คือ b

จะได้

1) ไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

sin(A) = ข้าม/ฉาก = a/h

2) โคไซน์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ในที่นี้คือ

cos(A) = ชิด/ฉาก = b/h

3) แทนเจนต์ ของมุม คือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้าม ต่อความยาวด้านประชิด ในที่นี้คือ

tan(A) = ข้าม/ชิด = a/b

4) โคซีแคนต์ csc(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ sin(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านตรงข้าม

csc(A) = ฉาก/ข้าม = h/a

5) ซีแคนต์ sec(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ cos(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ต่อความยาวด้านประชิด

sec(A) = ฉาก/ชิด = h/b

6) โคแทนเจนต์ cot(A) คือฟังก์ชันผกผันการคูณของ tan(A) นั่นคือ อัตราส่วนของความยาวด้านประชิด ต่อความยาวด้านตรงข้าม

cot(A) = ชิด/ข้าม = b/a

วิธีจำ

วิธีจำอย่างง่าย ๆ คือจำว่า ข้ามฉาก ชิดฉาก ข้ามชิด ซึ่งหมายความว่า

  • ข้ามฉาก … sin = ด้านตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ชิดฉาก … cos = ด้านประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก
  • ข้ามชิด … tan = ด้านตรงข้าม/ด้านประชิด

นิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย

วงกลมหนึ่งหน่วย

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้ง 6 ฟังก์ชัน สามารถนิยามด้วยวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งเป็นวงกลมที่ มีรัศมียาว 1 หน่วย และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยในการคำนวณ และหาค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับอาร์กิวเมนต์ที่เป็นบวกและลบได้ ไม่ใช่แค่ 0 ถึง π/2 เรเดียนเท่านั้น สมการของวงกลมหนึ่งหน่วยคือ:

x^2 + y^2 = 1 \,

จากรูป เราจะวัดมุมในหน่วยเรเดียน โดยให้มุมเป็นบวกในทิศทวนเข็มนาฬิกา และมุมเป็นลบในทิศตามเข็มนาฬิกา ลากเส้นให้ทำมุม θ กับแกน x ด้านบวก และตัดกับวงกลมหนึ่งหน่วย จะได้ว่าพิกัด x และ y ของจุดตัดนี้จะเท่ากับ cos θ และ sin θ ตามลำดับ เหตุผลเพราะว่ารูปสามเหลี่ยมที่เกิดขึ้นนั้น จะมีความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก ยาวเท่ากับรัศมีวงกลม นั่นคือยาวเท่ากับ 1 หน่วย เราจะได้ sin θ = y/1 และ cos θ = x/1 วงกลมหนึ่งหน่วยช่วยให้เราหากรณีที่สามเหลี่ยมมีความสูงเป็นอนันต์ (เช่น มุม π/2 เรเดียน) โดยการเปลี่ยนความยาวของด้านประกอบมุมฉาก แต่ด้านตรงข้ามมุมฉากยังยาวเท่ากับ 1 หน่วย เท่าเดิม

ฟังก์ชัน f(x) = sin(x) และ f(x) = cos(x) ที่วาดบนระนาบคาร์ทีเซียน

สำหรับมุมที่มากกว่า 2π หรือต่ำกว่า −2π เราสามารถวัดมุมได้ในวงกลม ด้วยวิธีนี้ ค่าไซน์และโคไซน์จึงเป็นฟังก์ชันเป็นคาบที่มีคาบเท่ากับ 2π:

\sin\theta = \sin\left(\theta + 2\pi k \right)
\cos\theta = \cos\left(\theta + 2\pi k \right)

เมื่อ θ เป็นมุมใดๆ และ k เป็นจำนวนเต็มใดๆ

คาบที่เป็นบวกที่เล็กที่สุดของฟังก์ชันเป็นคาบ เรียกว่า คาบปฐมฐานของ ฟังก์ชัน คาบปฐมฐานของไซน์, โคไซน์, ซีแคนต์ หรือโคซีแคนต์ จะเท่ากับวงกลมหนึ่งวง นั่นคือเท่ากับ 2π เรเดียน หรือ 360 องศา คาบปฐมฐานของแทนเจนต์ หรือโคแทนเจนต์ จะเท่ากับครึ่งวงกลม นั่นคือเท่ากับ π เรเดียน หรือ 180 องศา

จากข้างบนนี้ ค่าไซน์และโคไซน์ถูกนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยโดยตรง แต่สี่ฟังก์ชันตรีโกณมิติที่เหลือจะถูกนิยามโดย

\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}
\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย
ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O

ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานทั้งหมด สามารถนิยามจากวงกลมหนึ่งหน่วยได้โดยใช้วงกลมหนึ่งหน่วย ที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด O (ตามรูปทางขวา) ซึ่งคล้ายกับการนิยามเชิงเรขาคณิตที่ใช้กันมาในสมัยก่อน ให้ AB เป็นคอร์ดของวงกลม ซึ่ง θ เป็นครึ่งหนึ่งของมุมที่รองรับคอร์ดนั้น จะได้

  • sin(θ) คือ ความยาว AC (ครึ่งหนึ่งของคอร์ด) นิยามนี้เริ่มใช้โดยชาวอินเดีย
  • cos(θ) คือระยะทางตามแนวนอน OC
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) คือ ความยาว CD
  • tan(θ) คือ ความยาวของส่วน AE ของเส้นสัมผัสที่ลากผ่านจุด A จึงเป็นที่มาของคำว่าแทนเจนต์นั่นเอง (tangent = สัมผัส)
  • cot(θ) คือ ส่วนของเส้นสัมผัสที่เหลือ คือความยาว AF
  • sec(θ) = OE และ
  • csc(θ) = OF เป็นส่วนของเส้นซีแคนต์ (ตัดวงกลมที่จุดสองจุด) ซึ่งสามารถมองว่าเป็นภาพฉายของ OA ตามแนวเส้นสัมผัสที่จุด A ไปยังแกนนอนและแกนตั้ง ตามลำดับ
  • exsec(θ) = DE = sec(θ) − 1 (ส่วนของซีแคนต์ด้านนอก)

ด้วยวิธีสร้างเหล่านี้ ทำให้เห็นภาพฟังก์ชันซีแคนต์และแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ π/2 (90 องศา) และโคซีแคนต์และโคแทนเจนต์ลู่ออก เมื่อ θ เข้าใกล้ศูนย์ (เราสามารถพิสูจน์เอกลักษณ์ตรีโกณมิติด้วยรูปภาพได้)

นิยามด้วยอนุกรม

ฟังก์ชันไซน์ (สีแดง) มีค่าใกล้เคียงกับพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 7 ของมัน (สีเขียว) สำหรับวงกลมที่อยู่บนจุดกำเนิด

โดยการใช้เรขาคณิตและคุณสมบัติของลิมิต เราแสดงได้ว่าอนุพันธ์ของไซน์คือโคไซน์ และอนุพันธ์ของไคโซน์คือค่าลบชองไซน์ เราสามารถใช้อนุกรมเทย์เลอร์สำหรับแสดงเอกลักษณ์ต่อไปนี้สำหรับทุกจำนวนจริง x:

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}

เอกลักษณ์เหล่านี้มักใช้เป็น นิยาม ของฟังก์ชันไซน์ และโคไซน์ ซึ่งนำไปใช้เป็นจุดเริ่มต้นแบบเข้มของฟังก์ชันตรีโกณมิติ และการประยุกต์ของมัน (เช่น อนุกรมฟูรีเย) เพราะว่ามันมีพื้นฐานอยู่บนระบบจำนวนจริง ไม่ขึ้นกับการตีความทางเรขาคณิตใดๆ การหาอนุพันธ์ได้และความต่อเนื่องของฟังก์ชันก็มาจากนิยามนี้

เอกลักษณ์

ดูบทความหลักที่ เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ
\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}
เอกลักษณ์ตรีโกณมิติคือการเท่ากันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ต่างกัน และเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของขนาดของมุมเมื่อกำหนด A เป็นขนาดของมุมใดๆ (0\le A\le 2\pi)จะได้
\sin A \cdot \csc A = 1
\cos A \cdot \sec A = 1
\tan A \cdot \cot A = 1
\cos A \cdot \tan A = \sin A
\sin A \cdot \cot A = \cos A
\sin^2 A + \cos^2 A = 1\,
\sec^2 A - \tan^2 A = 1\,
\csc^2 A - \cot^2 A = 1\,

เมื่อกำหนด x และ y เป็นขนาดของมุมใดๆ (0\le x,y\le 2\pi) จะได้

\sin \left(x+y\right)=\sin x \cos y + \cos x \sin y
\sin \left(x-y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y
\cos \left(x+y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y
\cos \left(x-y\right)=\cos x \cos y + \sin x \sin y
\tan \left(x+y\right)=\frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
\tan \left(x-y\right)=\frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}
\sin x+\sin y=2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\sin x-\sin y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x+\cos y=2\cos \left( \frac{x+y}{2} \right) \cos \left( \frac{x-y}{2} \right)
\cos x-\cos y=-2\sin \left( \frac{x+y}{2} \right)\sin \left( \frac{x-y}{2} \right)
\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}
\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}
\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}
\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin y}
2\sin x \cos y=\sin \left(x+y\right) + \sin \left(x-y\right)
2\cos x \sin y=\sin \left(x+y\right) - \sin \left(x-y\right)
2\cos x \cos y=\cos \left(x+y\right) + \cos \left(x-y\right)
2\sin x \sin y=\cos \left(x-y\right) - \cos \left(x+y\right)
\sin 2x=2\sin x \cos x=\frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}
\cos 2x=\cos^2 x - \sin^2 x=1-2\sin^2 x=2\cos^2 x-1=\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}
\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}
\sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x
\cos 3x=4\cos^3 x - 3\cos x
\tan 3x=\frac{3\tan x - \tan^3 x}{1-3\tan x}
ที่มาดีๆ จาก

8 thoughts on “ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      วิธีการจำสูตร
      ๑. ท่อง
      ๒. เขียนสูตรทุกครั้งที่ทำโจทย์/แบบฝึกหัด
      ๓. เข้าใจที่มาของสูตร (พิสูจน์สูตร)

      เลือกใช้วิธีการใดวิธีการหนึ่ง หรือหลายๆ วิธีการไปพร้อมๆ กันได้
      เช่น ระหว่างที่ทำแบบฝึกหัดก็ให้เขียนสูตรไปด้วย ระหว่างที่เขียนสูตรก็พูดสูตรนั้นไปด้วย ก็จะได้ทั้ง เขียน อ่านส่ิงที่เขียน พูดสิ่งที่เขียน และฟังสิ่งที่พูด ครบเลย
      ถ้าทำขนาดนี้แล้วยังทำไม่ได้ก็ให้มันรู้กันไปครับ

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s