ฟังก์ชันเทา

จำนวนเต็มที่่หารจำนวนเต็ม n ลงตัวมีทั้งหมดกี่จำนวน

โจทย์ในเรื่องทฤษฎีจำนวน หรือแม้แต่สมบัติของจำนวนเต็ม มักจะถามในเรื่องจำนวนเต็มที่หารจำนวนเต็ม n ลงตัว มีกี่จำนวน เช่น
จำนวนเต็มที่หาร 4 ลงตัว มี 6 ตัว คือ -4, -2, -1, 1, 2, 4
จำนวนเต็มที่หาร 10 ลงตัว มี 8 ตัว คือ -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10

แหม…ถ้าจำนวนที่มีค่าน้อยๆ แบบนี้ก็หมูอะดิครับ
ลอง…50 ดูบ้าง…
จำนวนเต็มที่หาร 50 ลงตัว มี 12 ตัว คือ -50, -25, -10, -5, -2, -1, 1, 2, 5, 10, 25, 20

ลอง 360 ดูบ้างดิ…
คงไม่ดีกว่านะ…

ที่เกริ่นแบบนี้มันต้องมีวิธีการคิดครับ
เอางี้…เรามาเริ่มที่การแยกตัวประกอบของจำนวนเต็มที่เขากำหนดก่อนแล้วสังเกตนะครับ

4 = 2 × 2 = 2² จำนวนเต็มบวกที่หาร 4 ลงตัว มี 3 ตัว (คิดเฉพาะบวกก่อนแล้วค่อยคูณทีหลัง)
สังเกตว่ากำลังของ 2 คือ 2 (จำนวนเต็มบวกที่หาร 4 ลงตัว มี 2 + 1 = 3 ตัว)

10 = 2 ´ 5 = 2¹ ´ 5¹ เลขชี้กำลัง คือ 1 และ 1 จำนวนเต็มบวกที่หาร 10 ลงตัว มี (1 + 1)(1 + 1) = 4 ตัว

50 = 2 × 5 × 5 = 2¹ × 5² เลขชี้กำลัง คือ 1 และ 2 จำนวนเต็มบวกที่หาร 50 ลงตัว มี (1 + 1)(2 + 1) = 6 ตัว

เห็นแนวทางแล้วใช่ไหมครับ
นี่ คือกระบวนการเริ่มต้นของการศึกษาคณิตศาสตร์ครับ…สังเกตแบบรูปและความ สัมพันธ์ จากนั้นพิสูจน์ (ซึ่งคงไม่แสดงนะครับ—จริงๆ แล้วยังไม่ได้ลองและยังหาไม่เจอมากกว่า…หุหุ)
ที่นี้ ถ้าอยากได้คำตอบทั้งจำนวนเต็มบวก และเต็มลบ ก็นำคำตอบที่ได้คูณด้วย 2 ก็สิ้นเรื่อง

งั้น 360 ก็หมูแล้วครับ
360     = 36 × 10
= 6 × 6  × 2 × 5
= 2 × 3 × 2 × 3 × 2 × 5
= 2³ × 3² × 5¹       จำนวนเต็มบวกที่หาร 360 ลงตัว มี (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 × 3 × 2 = 24 ตัว
ดังนั้น จำนวนเต็มทั้งหมดที่หาร 360 ลงตัว จึงมี 24 × 2 = 48 ตัวนั่นเองครับ

ข้อ สำคัญนะครับ…ฐานของเลขยกกำลังที่จะนำมาใช้คำนวณต้องเป็นจำนวนเฉพาะเท่า นั้นนะครับ (การแยกตัวประกอบก็ต้องเขียนในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะอยู่แล้วนะครับ)

ในระดับสูง ฟังก์ชันที่กำหนดด้วยจำนวนเต็มบวกที่หารจำวนวนเต็ม n ลงตัว คือ ฟังก์ชันเทา สัญลักษณ์ คือ τ(n) หมายถึง จำนวนจำนวนเต็มบวกที่หาร n ลงตัว
ถ้า n = เมื่อ n₁, n₂, n₃, …, n_m เป็นจำนวนเฉพาะ และ p₁, p₂, p₃, …, p_k เป็นจำนวนเต็มบวก
จะได้ จำนวนจำนวนเต็มบวกที่หาร n ลงตัว
หรือ τ(n) = (p₁ + 1)(p₂ + 1)(p₃ + 1)…(p_k + 1)