การแก้สมการพหุนาม

พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ x – c = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้ p(x) =  x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 135 + 18 – 3 + 2 = -37

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x3 – x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ? ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย x – c เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ a มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

      • จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
      • จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ลองดูตัวอย่างกันครับ

ลองนำไปทำดูนะครับ

สรุปว่า

ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย

 

แบบฝึกหัดเพิ่มเติมครับ ลองเอาไปทำดูครับ

ครูอั๋น
1 กันยา’56

24 thoughts on “การแก้สมการพหุนาม

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ?? เป็นตัวตั้งหรือตัวหาร เขียนใส่กระดาษแล้วถ่ายโพสต์ที่หน้าเพจ เรียนรู้กับครูอั๋นได้ไหมครับ

      ถ้าให้ผมตีความ อะไร หาร a^2 – a + 4 ได้ผลลัพธ์ 5a + 4 เหลือเศษ 4
      แปลงเป็นประโยคสัญลักษณ์ โดยให้อะไรแทนด้วย p(x) จะได้
      (a^2 – a + 4)/p(x) = 5a + 4 + 4/p(x)

      จัดรูปใหม่/แก้สมการ นำ p(x) คูณตลอด จะได้
      a^2 – a + 4 = (5a + 4)*p(x) + 4

      นำ -4 บวกทั้งสองข้าง จะได้
      a^2 – a = (5a + 4)*p(x)

      นำ 5a + 4 หารทั้งสองข้างของสมการ จะได้
      (a^2 – a)/(5a + 4) = p(x)

      หารดูก็จะได้ p(x) ครับผม

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      นี่คือ FB ของหนูหรือเปล่า https://www.facebook.com/wichuda.wansutta
      ถ้าใช่…ก็แล้วทำไมต้องกรอกอีเมลปลอมด้วย…แต่ถ้าไม่ใช่ก็ขออภัยนะครับ

      นักคณิตศาสตร์นามยูคลิดแห่งอะเล็กซานเดรียกล่าวไว้ว่า “There is no Royal Road to geometry.” หมายถึง ไม่มีลาดพระบาท (ทางที่สะดวกสบาย…ใช้เป็นคำประชดประชัน) ที่จะเรียนเรขาคณิต ความหมายโดยนัย คือ การเรียนมันไม่ใช่เรื่องง่ายหรอกครับ เราอาจจะต้องเรียนรู้สิ่งยากๆ ก่อน จากนั้นเมื่อทำสิ่งยากๆ แล้ว บางทีมันจะเกิดการตกตะกอนความรู้ สร้างเป็นวิธีลัดขึ้นมา แต่ถ้าหนูต้องการแต่วิธีการง่ายๆ โดยไม่เข้าใจแก่นจองมัน มันก็ไม่มีประโยชน์ครับ นอกจากจำไปทำข้อสอบ แล้วพอเจอโจทย์แบบอื่นก็ทำไม่ได้ ต้องมาหาวิธีลัดง่ายๆ อีก

      คนโบราณยังบอกไว้กว่า ลำบากตอนเด็กจะสบายตอนแก่ ตั้งนั้น มันอาจจะยากไปสักหน่อย แต่ลองทำบ่อยๆ ครับ มันจะช่วยให้หนูทำได้อย่างคล่องขึ้น แล้วบางทีอาจจะค้นพบความรู้ (วิธีลัดที่มันง่ายๆ) ด้วยตัวหนูเอง

      เอาใจช่วยนะครับ

  1. wunvipa พูดว่า:

    อยากให้ยกเป็นโจทย์มาหลายๆข้ออ่ะค่ะแล้วก็แสดงวิธีทำที่เข้าใจง่ายๆด้วยอ่ะค่ะ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ฝึกทำแล้วโพสมาให้ดูดีไหม…ทำเยอะหลายข้อก็วิธีแบบเดิม คงไม่ยากไม่ง่ายไปกว่านี้หรอกครับ ที่สำคัญ มีคนจ้องจะลอกอย่างเดียวอยู่อีกมาก ทำเยอะๆ ก็เข้าทางพวกมักมากในการลอกน่ะสิครับ

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s