(ปรับจาก กมล  เอกไทยเจริญ.  (ม.ป.ป.).  พีชคณิตเชิงเส้น และเทคนิคการใช้ Graphing Calculator.  กรุงเทพฯ: ไฮเอ็ดพับลิชชิ่ง.)

แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ หรือ ตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model) สำหรับแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์มีหลากหลายรูปแบบ ดังที่กล่าวในมาตรฐานการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ว่า

สาระที่ 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.2     ใช้นิพจน์ สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณ์ต่างๆ ตลอดจนแปลความหมาย และนำไปใช้แก้ปัญหา

นักเรียนมักจะถามครูเสมอว่า “เรียนเรื่องนี้แล้วเอาไปใช้อะไรได้” หรือ เมื่อมีผู้มาประเมินโรงเรียน (เช่น โรงเรียนในฝัน) มักจะถามนักเรียนว่า “เอาไปใช้อะไรในชีวิตประจำวันได้” เป็นคำถามที่นักเรียนตอบยากมาก และแม้แต่ครูผู้สอนเอง…บางทีก็ไม่รู้จะตอบว่าอะไร

“เมทริกซ์” เป็นเนื้อหาหนึ่งในวิชาคณิตสาสตร์เพิ่มเติม ม.4 ศึกษาเกี่ยวกับตัวแบบชนิดหนึ่งที่เรียกว่าเมทริกซ์ และมีการประยุกต์ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้น

ในระดับอุดมศึกษาจึงมีการนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาต่างๆ โดยในการเรียนวิชาพีชคณิตเชิงเส้น ได้มีการกล่าวถึงการประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขา ที่มีการนำสมการเชิงเส้นไปใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ และความสัมพันธ์ต่างๆ ดังนี้

1. การประยุกต์ทางธุรกิจ
2. การประยุกต์ทางเศรษฐศาสตร์
3. การประยุกต์ทางฟิสิกส์ (วงจรไฟฟ้า)
4. การวิเคราะห์การเลื่อนไหลของการจราจร

ซึ่งแต่ละประเด็นมีรายละเอียดดังต่อไปนี้

การประยุกต์ทางธุรกิจ/อุตสาหกรรม

ตัวอย่างที่        โรงงานอุตสาหกรรมแห่งหนึ่งมีเครื่องจักร 3 เครื่อง เพื่อใช้ในการผลิตสินค้าที่แตกต่างกัน 4 ชนิด เครื่องจักรแต่ละเครื่องสามารถทำงานได้วันละ 8 ชั่วโมง และจำนวนชั่วโมงที่เครื่องจักรแต่ละเครื่องในใจการผลิตสินค้าแต่ละชนิด ต่อ 1 ชิ้น กำหนดดังนี้

	ชนิดที่ 1	ชนิดที่ 2	ชนิดที่ 3	ชนิดที่ 4
เครื่องที่ 1	1	2	1	2
เครื่องที่ 2	2	0	1	1
เครื่องที่ 3	1	2	3	0

จงหาจำนวนสินค้าแต่ละชนิดที่ผลิตได้ใน 1 วัน เมื่อกำหนดให้เครื่องจักรแต่ละตัวทำงานครบ 8 ชั่วโมง

วิธีทำ    สมมติให้           w แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 1 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

x แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 2 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

y แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 3 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

z แทน จำนวนสินค้าชนิดที่ 4 ที่ผลิตได้ใน 1 วัน

ดังนั้น   จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 1 เท่ากับ 1w + 2x + 1y + 2z

จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 2 เท่ากับ 2w + 0x + 1y + 1z

จำนวนชั่วโมงทำงานของเครื่องจักรเครื่องที่ 3 เท่ากับ 1w + 2x + 3y + 0z

จากที่กำหนดให้ว่า เครื่องจักรแต่ละเครื่องทำงานวันละ 8 ชั่วโมง ดังนั้น จะได้ระบบของสมการเชิงเส้น ดังต่อไปนี้

w + 2x +   y + 2z   =   8

2w          +   y +   z   =   8

w + 2x + 3y           =   8

ซึ่งสร้างเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้นได้ดังนี้

เมื่อใช้การดำเนินการตามแถวเบื้องต้นจะได้เมทริกซ์แบบขั้นบันไดแบบแถว ดังนี้

จากเมทริกซ์นี้ ทำให้เราได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังนี้

w + 2x +   y  +   z   =   4

x +    y +   z   =   2

y –   z    =   0

ซึ่งจะได้คำตอบของระบบสมการดังนี้

w   =   4 – s

x   =   2 – s

y   =   s

z   =   s

เมื่อ s เป็นจำนวนใดๆ  แต่เนื่องจาก w, x, y, z เป็จำนวนเต็มบวกหรือศูนย์ (จำนวนสินค้า) ดังนั้น

4 – s  ≥  0       และ  2 – s  ≥  0

นั่นคือ                                s  ≤  4       และ       s  ≤  2

ดังนั้น 0 <= s <= 2 จะได้ s = 0, 1, 2 แสดงว่าคำตอบของปัญหามีอยู่ 3 คำตอบ คือ

ถ้า s = 0 จะได้    หรือ

ถ้า s = 1 จะได้    หรือ

ถ้า s = 2 จะได้ 

แต่ถ้าระบุเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกว่า เครื่องจักรแต่ละเครื่องต้องผลิตสินค้าได้ทุกชนิด คำตอบของปัญหานี้จะเหลือเพียงคำตอบเดียว คือ

การวิเคราะห์การเลื่อนไหลของการจราจร

ถ้ามีแผนผังของการจราจรในรูปแบบของการเดินรถทางเดียว พร้อมทั้งมีการสำรวจจำนวนรถที่เข้าหา หรือออกจากสี่แยก เราสามารถนำข้อมูลที่ได้มาวิเคราะห์หาจำนวนรถบนเส้นทางที่ต้องการได้ และจากคำตอบดังกล่าวนี้ หากเราทราบว่านถนนสายใดมีปัญหาที่อาจจะส่งผลถึงการจราจร เช่น การก่อสร้าง ก็อาจจะวิเคราะห์ต่อไปถึงจำนวนรถที่เหมาะสมได้

ตัวอย่างสถานการณ์       ในรูปที่กำหนดให้ต่อไปนี้ แสดงเครือข่ายการจราจรบนถนนสายต่างๆ ในเมืองแห่งหนึ่ง ซึ่งเป็นถนนที่มีการเดินรถทางเดียวทั้งหมด โดยทิศทางของการเดินรถแสดงได้ด้วยลูกศรในรูป จำนวน ปรากฏในรูปแทนจำนวนรถใน 1 ชั่วโมงที่เข้าหา หรือออกจากจุดสี่แยกต่างๆ และตัวแปร x₁, x₂, …, x₇ แทนจำนวนรถใน 1 ชั่วโมงที่ผ่านจากจุด A ไปยังจุด B จากจุด B ไปยังจุด C เป็นต้น

ถ้าหากเราตั้งสมมติฐานว่า ไม่มีการหยุดการเลื่อนไหลของการจราจร จำนวนรถที่เข้าหาสี่แยกเท่ากับจำนวนรถที่ออกจากสี่แยกนั้น จงวิเคราะห์หา x₁, x₂, …, x₇

วิธีทำ                       จากข้อมูลที่กำหนดให้ จะได้ระบบสมการเชิงเส้น ดังต่อไปนี้

x₁      + x₃                         .   =   800  (การเลื่อนไหนที่สี่แยก A)

x₁ – x₂       + x₄                  .   =   200  (การเลื่อนไหนที่สี่แยก B)

x₂             – x₅            .   =   500  (การเลื่อนไหนที่สี่แยก C)

– x₅       + x₇   =   50    (การเลื่อนไหนที่สี่แยก D)

x₄       + x₆ – x₇   =   600  (การเลื่อนไหนที่สี่แยก E)

x₃             + x₆      .   =   750  (การเลื่อนไหนที่สี่แยก F)

จะได้เมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการข้างต้น คือ

ซึ่งสมมูลตามแถวกับเมทริกซ์ขั้นบันไดตามแถวลดรูป ดังนี้

ดังนั้น

                                                                      x₁.   =   50 + x₆

x₂   =   450 + x₇

x₃.   =   750 – x₆

x₄   =   600 – x₆ + x₇

x₅   =   -50 + x₇

x₆   =   x₆

x₇   =   x₇

เนื่องจาก xi ³ 0 (เพราะว่า สถานการณ์นี้เป็นการเดินรถทางเดียว ถ้าหากมี xi < 0 จะทำให้เกิดการเดินรถที่ผิดทางกัน) ดังนั้น

x₃.   =   750 – x₆  >  0

ดังนั้น                                    0  <  x₆  <  750

ทำนองเดียวกัน                         x₅   =   -50 + x₇  >  0

x₇  >  50

ถ้าสมมติว่า ถนนที่เชื่อมระหว่างสี่แยก D และ E อยู่ใรระหว่างการก่อสร้าง จึงต้องการให้รถผ่านเส้นทางนี้น้อยที่สุด จะได้ว่า x₇ = 50 ซึ่งทำให้ x₂ = 500 และ x₅ = 0

แสดงว่า ต้องปิดการถนนที่เชื่อมระหว่างสี่แยก C และ D

ในทางกลับกัน ถ้าปิดถนนสายที่เชื่อมระหว่าง C และ D จะได้ x₅ = 0 ซึ่งทำให้ x₇ = 50 ซึ่งเป็นจำนวนที่น้อยที่สุด

ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า จำนวนรถบนถนนที่เชื่อมระหว่าง D และ E น้อยที่สุด ก็ต่อเมื่อต้องปิดถนนสายที่เชื่อมระหว่าง C และ D

ในขณะเดียวกัน ถ้าต้องการให้ x₆ มีค่าน้อยที่สุดด้วย จาก (1) จะได้ว่า x₆ = 0

ดังนั้น x₁ = 50, x₂ = 500, x₃ = 750, x₄ = 650, x₅ = 0, x₇ = 50