ทบ.เศษเหลือ ปะทะ การหารสังเคราะห์


พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย xc เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ xc = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้ p(x) =  x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x3x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?

ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย xc เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

  • จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
  • จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ลองดูตัวอย่างกันครับ

Untitled
ลองนำไปทำดูนะครับ

สรุปว่า

ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย

ครูอั๋น
7 กันยา’54

Advertisements

40 thoughts on “ทบ.เศษเหลือ ปะทะ การหารสังเคราะห์

  1. ศิราพรรณ พูดว่า:

    ถ้าเลขชี้กำลังมันกระโดดข้ามล่ะค่ะ แบบว่า
    x^4-34x^2+225 คือว่าเลขชี้กำลังมันไม่เป็น4แล้วเป็น3
    เเต่มันเป็น2แทน มันจะหารยังไงหรอค่ะ
    ขอบคุณค่ะ

  2. Sujitra Jitjum พูดว่า:

    อยากให้ครูอั๋นแก้สมาการให้ดูหน่อยค่ะ
    จงใช้วิธีหารสังเคราะห์และแก้สมการ หาคำตอบต่อไปนี้
    (5x^3-11x^2-14x-10) /(x-3)
    เป็นตัวอย่าง ให้หนูทำข้อต่อไปค่ะ

  3. ชลิดา พูดว่า:

    ถ้าเขาให้หาสัมประสิทธิ์เเละดีกรีที่เป็นเศษตัวเเปรเเต่ส่วนเป็นค่าคงที่ต้องยังไงคะ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบครับ กรณี a=1 (สปส.ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุด) เราก็หาตัวประกอบของ 24 ครับ ประกอบด้วย (บวก/ลบ) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24

  4. jeeno15 พูดว่า:

    ขอบคุณมากครับผมสงสัยมานานว่ามันต่างกันอย่างไร 555+//พึ่งเข้าใจก็วันนี้ =_=//ถ้าหารลงตัวมันนำไปคิดต่อได้ แต่ถ้าหารแล้วเหลือเศษนี่มันสามารถนำไปใช้ประโยชน์อะไรต่อได้หรอครับ ขอบคุณครับ^_^

  5. พลอย พูดว่า:

    ช่วยแนะนำวิธีทำโจทย์คณิตฯ ม. 4
    จงหาผลหาร q และเหลือเศษ r ที่เกิดจากการหาร a ด้วย b เมื่อกำหนด a, b ดังนี้ และเขียนในรูปขั้นตอนการหาร

    1. a = -111, b = 10

    2. a = -99, b = -12

    3. a = 10, b = -15

    4. a = -10, b = 15

    5. a = -21, b = -30

  6. Panuvat พูดว่า:

    ผมก็เป็นคนนึงที่เรียนคณิตเข้าใจบ้าง ไม่เข้าบ้าง เเต่ผมก็พยายามอ่านผมไม่เข้าใจผมชอบถามเพื่อนในห้อง ตอนสอบก็อ่านเข้าใจเเต่พอเข้าห้องสอบผมลืมหมดเลย

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ถ้าโจทย์ไม่ให้ตัวหารมา ก็เป็นหน้าที่ของเราครับที่ต้องหารตัวหาร ซึ่งก็ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือนั่นเองครับ ประกอบกับใช้เทคนิคการเลือกจากทฤษฎีบทตัวประกอบครับ แต่โดยมากเราก็ใช่การสุ่มโดยดูจากค่าคงที่ (พจน์ท้าย) ของพหุนามนั่นเองครับ เช่น ถ้าพจน์ท้ายเป็น 6 เราก็จะเลือค่า c เป็น 1, 2, 3, 6 ตัวอื่นไม่ต้อง
      รายละเอียดเพิ่มในเรื่องทฤษฎีบทตัวประกอบนะครับ

  7. tittamza พูดว่า:

    ผมว่าคำตอบข้อล่างสุดมีเเค่ 3 กะ2 นะครับ ผมคิดว่าครูทำผิดอ่ะ มันต้องได้
    (x+2)(x^2-x-6) เพะราว่า x-c หารp(x) อะครับ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ถ้าอยู่ใกล้ๆ ช่วยช่วยอธิบายนะครับ แนวทางหนึ่งที่สามารถทำได้ก็คือ ทบทวนเรื่องพหุนาม การแยกตัวประกอบของพหุนาม และการแก้สมการกำลังสองครับ ลองทบทวนดู เพราะว่ามันเป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียนคณิต ม.ปลาย แผนวิทย์ เลยนะครับ คณิตศาสตร์เพิ่มเติมใช้เยอะจริงๆ

  8. กมลชนก แสนคุณท้าว พูดว่า:

    ขอบคุณค่ะครูอั้น^^ หนูเริ่มเข้าใจเรื่องคณิตศาสตร์แล้วค่ะ คืออยากจะถามการหารสังเคราะห์น่ะค่ะว่ามีข้อบังคับเยอะไหมแล้วเราใช้ประโยชน์กับมันได้อย่างไรบ้างน่ะค่ะ
    ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ
    น้าเพชร
    ป.ล. พึ่งเริ่มเรียนเกี่ยวกับเรื่องนี้อ่ะค่ะ>_<

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ตอบคงจะยาวนะครับ
      เดี๋ยวจะเขียนเฉพาะเรื่องการหารสังเคราะห์แล้วเอามาลงอีกทีนะครับ รอไปติดตามข่าวสารได้ที่ https://www.facebook.com/learningkruaun นะครับผม แล้วถ้าอับเดทจะนำไปโพสบอกที่นั่นครับผม หรือจะสมัครสมาชิกบล็อกนี้ก็ได้ครับผม

      ขอบคุณที่ติดตามอ่านนะครับ

    • ครูอั๋น พูดว่า:

      ส่วนการใช้ประโยชน์จากมันก็คือ ใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงเพื่อให้หาคำตอบของสมการน่ะครับเป็นประเด็นสำคัญ

  9. Phongphan พูดว่า:

    นี้คือศึกษาศาสตร์ หาใช่วิทยาศาสตร์ ที่มีข้อถกแย้ง ความเจริญอาจนำมาซึ่งหายนะ หากไม่มีหลักการประจำใจ

  10. Hathaikarn พูดว่า:

    ขอบคุณค่ะ ครูอั๋น ! หนูชื่อแอปเปิ้ลน่ะค่ะ ,,,, ไม่ชอบเรียนคณิตมากกก ๆ ๆ เรียนสายวิทย์ ก้พอถูๆ ๆ ไถ ๆ ไป หนูอยากเรียนคณิตแบบ เข้าใจ มาก ๆ ๆ เลยอ่ะค่ะ จะทำยังไงค่ะ ^^”

    • นฤพนธ์ สายเสมา พูดว่า:

      ตั้งสติก่อนนะ…ทำใจให้ชอบก่อน ถ้าใจยังไม่ชอบยังไงมันก็ไม่มีทางง่าย เลิกโทษว่าวิชานี้ยาก ครูสอนไม่รู้เรื่อง ก่อน (แม้มันจะจริงบ้าง) จากนั้นให้คิดว่าเราต้องรู้เรื่อง ตั้งใจเรียน อ่านล่วงหน้า ทบทวน ทำการบ้าน ไม่เข้าใจรีบถามทันที เพื่อน พี่ ครู ลองดูนะครับ

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s