พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)
วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ
ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)
เช่น
ตัวอย่าง จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2 ด้วย x – 3
วิธีทำ ในที่นี้ x – c = x – 3 ดังนั้น c = 3
ใ้ห้ p(x) = x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้ p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87
แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ
เช่น (2x3 – x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?
ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้
แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้
ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ
สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1
ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย x – c เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้
1. เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2. เขียน c เป็นตัวหาร
3. จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4. นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6. นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7. บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า
- จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
- จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร
ลองดูตัวอย่างกันครับ
ลองนำไปทำดูนะครับ
สรุปว่า
ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย
ครูอั๋น
7 กันยา’54
เรียนรู้กับครูอั๋น: เพราะคณิตศาสตร์ขาดไม่ได้ 
ถ้าเลขชี้กำลังมันกระโดดข้ามล่ะค่ะ แบบว่า
x^4-34x^2+225 คือว่าเลขชี้กำลังมันไม่เป็น4แล้วเป็น3
เเต่มันเป็น2แทน มันจะหารยังไงหรอค่ะ
ขอบคุณค่ะ
เติม 0x^3 ได้ครับ
อยากให้ครูอั๋นแก้สมาการให้ดูหน่อยค่ะ
จงใช้วิธีหารสังเคราะห์และแก้สมการ หาคำตอบต่อไปนี้
(5x^3-11x^2-14x-10) /(x-3)
เป็นตัวอย่าง ให้หนูทำข้อต่อไปค่ะ
ขอโทษน่ะค่ะมีเทคนิคการหา p(x) ที่เมื่อนำไปหารแล้วลงตัวบ้างมั้ยค่ะ
ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบครับ
ถ้าเขาให้หาสัมประสิทธิ์เเละดีกรีที่เป็นเศษตัวเเปรเเต่ส่วนเป็นค่าคงที่ต้องยังไงคะ
ขอตัวอย่างครับ
โจทย์ x+2 เท่ากับ x-c
0xกำลัง3 -5xกำลัง2 +2x+8เท่ากับ0
ช่วยหนูแก้หน่อยได้มั้ยคะครู
เขียน ถ่าย ส่งในข้อความของเพจดีกว่าครับ อ่านอันนี้แบ้วงง
x^3-x^2-14x+24=0
ให้ใช้วิธีหารสังเคราะห์
เราจะหาตัวหารยังไงครับ
ใช้ทฤษฎีบทตัวประกอบครับ กรณี a=1 (สปส.ของพจน์ที่มีดีกรีสูงสุด) เราก็หาตัวประกอบของ 24 ครับ ประกอบด้วย (บวก/ลบ) 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24
ขอบคุณมากครับผมสงสัยมานานว่ามันต่างกันอย่างไร 555+//พึ่งเข้าใจก็วันนี้ =_=//ถ้าหารลงตัวมันนำไปคิดต่อได้ แต่ถ้าหารแล้วเหลือเศษนี่มันสามารถนำไปใช้ประโยชน์อะไรต่อได้หรอครับ ขอบคุณครับ^_^
ด้วยความยินดีครับผม
ช่วยแนะนำวิธีทำโจทย์คณิตฯ ม. 4
จงหาผลหาร q และเหลือเศษ r ที่เกิดจากการหาร a ด้วย b เมื่อกำหนด a, b ดังนี้ และเขียนในรูปขั้นตอนการหาร
1. a = -111, b = 10
2. a = -99, b = -12
3. a = 10, b = -15
4. a = -10, b = 15
5. a = -21, b = -30
เขียนให้อยู่ในรูป a = bq + r โดยที่ 0 <= |r| < b
เช่น ข้อ 1 จะได้ -111 = 10(-12) + 9 เป็นต้น ครับ
ข้อ 2 จะได้ -99 = -12(…) + …
ทำลักษณะนี้นะครับ
แล้วถ้าหารด้วย x^2-cอ่ะครับ
ตั้งหาร(ยาว)ปกติครับผม
ผมก็เป็นคนนึงที่เรียนคณิตเข้าใจบ้าง ไม่เข้าบ้าง เเต่ผมก็พยายามอ่านผมไม่เข้าใจผมชอบถามเพื่อนในห้อง ตอนสอบก็อ่านเข้าใจเเต่พอเข้าห้องสอบผมลืมหมดเลย
ตั้งใจ สงสัยรีบถาม อย่าลอกการบ้าน อย่าเกลียดอย่างกลัว อย่าทำมั่วๆ อย่ากลัวตอบผิด
https://kruaun.wordpress.com/journal/guidance/greatstudent/
หนูไม่ค่อยเข้าใจ ตรงหารยาวอ่ค่ะ TT ยากมากเลย
ต้องอธิบายกันยาวเลยล่ะครับ ^^”
แล้วถ้าตัวหารเป็นเศษส่วนล่ะคะ
ก็ใช้หลักการเดียวกันครับ เช่น 1/2 ก็อาจจะเปลี่ยนให้เป็น 0.5 ก็ยังได้เลยครับผม
แล้วถ้าโจทย์ไม่ให้ตัวหารมาเราจะสังเคราะห์ยังไงคะ
ถ้าโจทย์ไม่ให้ตัวหารมา ก็เป็นหน้าที่ของเราครับที่ต้องหารตัวหาร ซึ่งก็ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือนั่นเองครับ ประกอบกับใช้เทคนิคการเลือกจากทฤษฎีบทตัวประกอบครับ แต่โดยมากเราก็ใช่การสุ่มโดยดูจากค่าคงที่ (พจน์ท้าย) ของพหุนามนั่นเองครับ เช่น ถ้าพจน์ท้ายเป็น 6 เราก็จะเลือค่า c เป็น 1, 2, 3, 6 ตัวอื่นไม่ต้อง
รายละเอียดเพิ่มในเรื่องทฤษฎีบทตัวประกอบนะครับ
ขอบคุณครับ กำลังเรียนอยู่พอดีเลยครับ
สู้ๆ ครับ
ผมว่าคำตอบข้อล่างสุดมีเเค่ 3 กะ2 นะครับ ผมคิดว่าครูทำผิดอ่ะ มันต้องได้
(x+2)(x^2-x-6) เพะราว่า x-c หารp(x) อะครับ
จริงด้วยครับผม ขอบคุณมากครับ เกิดจากการพิมฟ์ผิดครับ จะได้แก้ไขในเร็ววันครับผม
ขอบคุณอีกรอบ
ไม่เห็นจะแก้ตรงไหนเลย ผ่านมาสี่ปีแล้วครับ คนที่เค้าเข้ามาอ่านแล้วไม่ได้อ่านคอมเมนต์เค้าก็จะจำผิดๆ ไปนะครับ เสียเวลาทำความเข้าใจที่แท้ก็ผิดที่วิธีทำ
ขอบคุณครับ ผมคิดว่าผมได้แก้ไปแล้วครับ ยอมรับผิดทุกประการครับ
แก้ไขแล้วจริงๆ ด้วย แต่บังเอิญมีสองลิงค์ ครับ ลิงค์นี้ที่แก้แล้ว https://coolaun.com/m4/admath4/equation/polyequa/ แต่อย่างไรก็ขอบคุณอีกครั้งครับ
คือหนูอ่อนเรื่องสมการกำลังสองมากๆๆๆๆเลยค่ะ ตอน ม.ต้นไม่ได้เรียนอยากให้คุณครูช่วยแนะนำหน่อยค่ะ
ถ้าอยู่ใกล้ๆ ช่วยช่วยอธิบายนะครับ แนวทางหนึ่งที่สามารถทำได้ก็คือ ทบทวนเรื่องพหุนาม การแยกตัวประกอบของพหุนาม และการแก้สมการกำลังสองครับ ลองทบทวนดู เพราะว่ามันเป็นพื้นฐานสำคัญของการเรียนคณิต ม.ปลาย แผนวิทย์ เลยนะครับ คณิตศาสตร์เพิ่มเติมใช้เยอะจริงๆ
ขอบคุณค่ะครูอั้น^^ หนูเริ่มเข้าใจเรื่องคณิตศาสตร์แล้วค่ะ คืออยากจะถามการหารสังเคราะห์น่ะค่ะว่ามีข้อบังคับเยอะไหมแล้วเราใช้ประโยชน์กับมันได้อย่างไรบ้างน่ะค่ะ
ขอบคุณล่วงหน้าค่ะ
น้าเพชร
ป.ล. พึ่งเริ่มเรียนเกี่ยวกับเรื่องนี้อ่ะค่ะ>_<
ตอบคงจะยาวนะครับ
เดี๋ยวจะเขียนเฉพาะเรื่องการหารสังเคราะห์แล้วเอามาลงอีกทีนะครับ รอไปติดตามข่าวสารได้ที่ https://www.facebook.com/learningkruaun นะครับผม แล้วถ้าอับเดทจะนำไปโพสบอกที่นั่นครับผม หรือจะสมัครสมาชิกบล็อกนี้ก็ได้ครับผม
ขอบคุณที่ติดตามอ่านนะครับ
ส่วนการใช้ประโยชน์จากมันก็คือ ใช้ในการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงเพื่อให้หาคำตอบของสมการน่ะครับเป็นประเด็นสำคัญ
นี้คือศึกษาศาสตร์ หาใช่วิทยาศาสตร์ ที่มีข้อถกแย้ง ความเจริญอาจนำมาซึ่งหายนะ หากไม่มีหลักการประจำใจ
ขอบคุณค่ะ ครูอั๋น ! หนูชื่อแอปเปิ้ลน่ะค่ะ ,,,, ไม่ชอบเรียนคณิตมากกก ๆ ๆ เรียนสายวิทย์ ก้พอถูๆ ๆ ไถ ๆ ไป หนูอยากเรียนคณิตแบบ เข้าใจ มาก ๆ ๆ เลยอ่ะค่ะ จะทำยังไงค่ะ ^^”
ตั้งสติก่อนนะ…ทำใจให้ชอบก่อน ถ้าใจยังไม่ชอบยังไงมันก็ไม่มีทางง่าย เลิกโทษว่าวิชานี้ยาก ครูสอนไม่รู้เรื่อง ก่อน (แม้มันจะจริงบ้าง) จากนั้นให้คิดว่าเราต้องรู้เรื่อง ตั้งใจเรียน อ่านล่วงหน้า ทบทวน ทำการบ้าน ไม่เข้าใจรีบถามทันที เพื่อน พี่ ครู ลองดูนะครับ