Tag Archives: สมการพหุนาม

เรียนคณิตออนไลน์กับครูอั๋น


ก้าวไปอีกขั้นกับการเรียนรู้คณิตสาสตร์ออนไลน์ กับครูอั๋น ด้วย MOODLE นักเรียนสามารถเข้าไปลงทะเบียนและเรียนรู้ และทบทวนเนื้อหาต่างๆ ได้ดั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไปครับ

อ่อ…สมัครสมาชิกก่อนนะครับ ถึงจะเข้าใช้งานได้ กำลังอับเดทไปเรื่อยๆ ครับผม

เข้าไปเรียนกันเยอะๆ นะครับ
ครูอั๋น

ทบ.เศษเหลือ ปะทะ การหารสังเคราะห์


พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย xc เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ xc = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้ p(x) =  x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x3x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?

ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย xc เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

  • จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
  • จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ลองดูตัวอย่างกันครับ

ลองนำไปทำดูนะครับ

สรุปว่า

ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย

ครูอั๋น
7 กันยา’54

Read: พิมพ์เขียวข้อสอบปลายภาคเรียนที่ 1/2553


ใกล้เข้ามาแล้วสำหรับการสอบปลายภาคเรียนที่ 1 ปีการศึกษา 2553 ซึ่งโรงเรียนก็ได้ให้รางวัลกับความพยายามและความเหนื่อยยากในการเรียนของนักเรียนด้วยการพาไปทัศนศึกษาเมื่อสอบเสร็จ (เย้…) แต่ก่อนจะได้พักยาวกันในช่วงปิดเทอมด้วย เราก็ต้องสู้กับการสอบปลายภาคก่อนนะครับ

สำหรับวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (ค31201) นี้ การสอบปลายภาคจะมีคะแนน 30 คะแนน (มีคะแนนพิเศษช่วยไว้แล้ว สำหรับนักเรียนที่ทำงานส่ง) มีเนื้อหาการสอบดังนี้นะครับ

  1. ตรรกศาสตร์ ออกการหาค่าความจริง (2 ข้อ) สัจนิรันดร์ (1 ข้อ) การอ้างเหตุผล (1 ข้อ) รวม 4 ข้อ 4 คะแนน
  2. ทฤษฎีจำนวน การหารลงตัว (1 ข้อ), ขั้นตอนวิธีการหาร (1 ข้อ) และ ค.ร.น./ห.ร.ม. (3 ข้อ) รวม 5 ข้อ 5 คะแนน
  3. สมการและอสมการพหุนาม การแก้อสมการพหุนาม (3 ข้อ), ช่วง (1 ข้อ), อสมการพหุนาม (ปรนัย 2 ข้อ, อัตนัย 1 ข้อ) และค่าสัมบูรณ์ สมการและอสมการในรูปค่าสัมบูรณ์ (5 ข้อ) รวมปรนัย 11 ข้อ 11 คะแนน และอัตนัย 1 ข้อ 10 คะแนน

ส่วนงานที่นักเรียนต้องส่งสำหรับบทที่ 3 มี 3 ชิ้น คะแนนรวม 20 คะแนน นะครับ คือ

  1. รายงานเรื่องพหุนามและการแยกตัวประกอบของพหุนาม 5 คะแนน จริงๆ แล้วเลยกำหนดมาแล้วนะครับ
  2. สมุดแบบฝึกหัด 7 คะแนน
  3. แบบฝึกหัดเพิ่มเติม จำนวน 3 เรื่อง (ณ วันที่ 10 ก.ย. 2553 มอบให้แล้ว 1 เรื่อง) ได้แก่ สมการพหุนาม (32 ข้อ) อสมการพหุนาม (20 ข้อ) และสมการและอสการในรูปค่าสัมบูรณ์ (10 ข้อ) 8 คะแนน

ขอให้ทำให้เรียบร้อยนะครับ เพื่อผลการเรียนที่ดีเยี่ยมของพวกเรา

สำหรับคะแนนเก็บ 50 คะแนนครูได้ติดประกาศไว้หน้าห้องแล้ว ดูได้นะครับ มีข้อสงสัยก็สอบถามได้นะครับ ตามเดิมที่ครูบอกไว้

โชคดีครับทุกคน
ครูอั๋น
10 กันยา’53 ห้อง 423

WorK I: รายงานพหุนามและการแยกตัวประกอบของพหุนาม


ถามกันเยอะมากมายว่ารายละเอียดของรายงานเรื่อง “พหุนามและการแยกตัวประกอบของพหุนาม” มีว่าอย่างไร

อันดับ 1 รายงานนี้เป็นรายงานคู่ (คู่ หมายถึง ๒ คนนะครับ) ซึ่งสามารถทำคนเดียวได้ไม่ว่ากัน
และนักเรียนสามารถเลือกไม่ทำก็ได้ แต่ถ้านักเรียนทดสอบก่อนเรียนในบทที่ ๓ ได้คะแนนน้อยกว่าร้อยละ ๖๐ นักเรียนจะต้องทำงาน/การบ้านหนักกว่าเพื่อนที่ทำรายงานเรียบร้อย และส่งตามกำหนดเวลา

อันดับ 2 รายงานให้เขียนเท่านั้น หรือถ้านักเรียนจะนำเสนอในรูปแบบอื่นก็ได้ เช่น พาวเวอร์พอยต์ เว็บไซต์ รายงานเป็นคลิบวีดีโอ บทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-Book) แต่ไม่อนุญาตให้พิมพ์เป็นรายงานโดยใข้โปรแกรมประมวลคำ (Word Processing) เช่น MicroSoft Word เป็นต้น

อันดับ 3 กำหนดส่งรายงาน อย่างช้าที่สุดในวันที่มีการทดสอบก่อนเรียนบทที่ ๓ เรื่องสมการและอสมการพหุนาม (น่าจะราวๆ อีก ๒ – ๓ สัปดาห์)

ส่วนหัวข้อรายงาน คลิกที่นี่ครับ

ขอคุณที่ให้ความร่วมมือในการปฏิบัติงาน
ผลที่ได้จากความตั้งใจ คือความรู้ และความสำเร็จของนักเรียนเอง

เร่งมือนะครับ “งานที่ไม่ได้เริ่มต้นลงมือทำ เป็นงานที่ใช้เวลายาวนานที่สุดกว่าจะสำเร็จ

ด้วยความปรารถนาดี

ครูอั๋น

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2,997 other followers

%d bloggers like this: