Tag Archives: คณิตศาสตร์ ม.4

เรียนคณิตออนไลน์กับครูอั๋น


ก้าวไปอีกขั้นกับการเรียนรู้คณิตสาสตร์ออนไลน์ กับครูอั๋น ด้วย MOODLE นักเรียนสามารถเข้าไปลงทะเบียนและเรียนรู้ และทบทวนเนื้อหาต่างๆ ได้ดั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไปครับ

อ่อ…สมัครสมาชิกก่อนนะครับ ถึงจะเข้าใช้งานได้ กำลังอับเดทไปเรื่อยๆ ครับผม

เข้าไปเรียนกันเยอะๆ นะครับ
ครูอั๋น

ทบ.เศษเหลือ ปะทะ การหารสังเคราะห์


พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย xc เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ xc = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้ p(x) =  x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x3x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?

ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย xc เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

  • จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
  • จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ลองดูตัวอย่างกันครับ

ลองนำไปทำดูนะครับ

สรุปว่า

ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย

ครูอั๋น
7 กันยา’54

เฉลยข้อสอบ O-NET: เลขยกกำลัง (ราก)


ทำมาเรื่อยๆ จนเสร็จแล้วสำหรับ “เฉลยข้อสอบ O-NET: เลขยกกำลัง (ราก)” ลองไปอ่านดูนำครับ

อันนี้เป็นฉบับรวม จะพยายามทำออกมาเรื่อยๆ

ครูอั๋น

Trick ค่าความจริงของประพจน์


บางครั้ง เราไม่จำเป็นต้องทราบค่าความจริงของทุกประพจน์ เราก็สามารถหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ได้ เพียงแต่ให้จำลักษณะสำคัญอีกบางประการของค่าความจริงได้ เช่น
ตัวเชื่อม และ มีเท็จ เป็นเท็จ ทันที เช่น p Λ F ≡ F
ตัวเชื่อม หรือ มีจริง เป็นจริง ทันที เช่น p v T ≡ T
ตัวเชื่อม ถ้า…แล้ว… ขึ้นเท็จเป็นจริง ลงจริงเป็นจริง เช่น F → p ≡ T, p → T ≡ T
ลงทำแบบฝึกหัดนี้ดูครับ ถ้าตอบได้ครบ ก็แสดงว่าเก่งเยี่ยมยอดครับผม

ใครอยากได้เฉลยให้ post e-mail ไว้ในช่องใส่ความเห็น/comment เลยนะครับ จะส่งไปให้ครับผม

ครูอั๋น
15 June 2011
Maxx Hotel, Rama 9 Rd, BKK

มอบงาน 10 – 24 มิถุนายน 2554


ขอชี้แจง และทำความเข้าใจนักเรียน และผู้เกี่ยวข้องทราบ ดังนี้

  1. ผู้สอนมีความจำเป็นต้องไปราชการ ณ โรงแรมแม็กซ์ ถนนพระรามเก้า กรุงเทพมหานคร ตามหนังสือราชการของสำนักเทคโนโลยีเพื่อการเรียนการสอน (สทร.) สำนักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ เพื่อร่วมเป็นคณะทำงานโครงการพัฒนาสื่อการเรียนรู้ออนไลน์ผ่านเครือข่ายอินเทอร์เน็ต (ตามหนังสือ ที่ ศธ 04005/ว836 ลงวันที่ 25 พฤษภาคม 2554) และวิทยากรผู้ช่วยโครงการก้าวใหม่ของครูไทย ก้าวไกลด้วย Social Media (ตามหนังสือ ที่ ศธ 04005/965 ลงวันที่ 9 มิถุนายน 2554) ระหว่างวันที่ 9 – 24 มิถุนายน 2554 รวม 12 วัน ซึ่งมีชั่วโมงเรียน 6 – 7 ชั่วโมง
  2. ผู้สอนได้มอบหมายภาระงาน 3 ชิ้นงาน ตามบันทึกมอบหมายงานฉบับนี้ รวมกับงานศึกษาค้นคว้าอีก 1 ชิ้นงาน ตามคู่มือฯ ให้นักเรียนได้ปฏิบัติ โดยเคร่งครัด
  3. ในแต่ละวันที่มีชั่วโมง ให้นักเรียนปฏิบัติดังนี้

3.1.    นักเรียนรับบันทึกการมอบหมายงานฯ

3.2.    หัวหน้าห้อง รองหัวหน้าห้อง หรือตัวแทนนักเรียนที่ได้รับมอบหมาย นำใบรายชื่อไปตรวจสอบการเข้าเรียนของเพื่อนในแต่ละชั่วโมง พร้อมรายงานครู/ผู้ช่วยสอน/ผู้ที่ได้รับมอบหมายหลังหมดคาบเรียน

3.3.    ปฏิบัติงานที่ได้รับมอบหมายให้เสร็จในแต่ละชั่วโมง และส่งเมื่อหมดคาบเรียนในสถานที่ที่กำหนด ได้แก่ ลิ้นชักหน้าโต๊ะครูในห้องพักครูกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ห้อง 413)

โดยมีภาระงาน ดังต่อไปนี้ครับ
(ได้มอบให้นักเรียนแล้ว นำมาให้ทบทวนอีกครั้งหนึ่งครับผม)

ขอให้ช่วยกันทำงาน ด้วยความตั้งใจ และประสบความสำเร็จในการทำงานนะครับ

ครูอั๋น
14 มิถุนายน 2554
โรงแรมแม็กซ์ กรุงเทพฯ

พัฒนาการของตรรกศาสตร์


เข้าไปอ่านบทความเรื่อง “พัฒนากาคของตรรกศาสตร์” เป็นส่วนหนึ่งของโครงการศัพท์คณิตศาสตร์ที่กำลังพัฒนาขึ้นครับผม

ตามไปอ่านได้ที่นี่ครับ (คลิกเลย)

คณิตศาสตร์ (เพิ่มเติม) ม.4 ภาค 1


เนื้อหาคณิตศาสตร์ (เพิ่มเติม) ม.4 ภาคเรียนที่ 1 ประกอบด้วย (คลิกไปดูได้เลย)

  1. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น
  2. ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
  3. สมการและอสมการพหุนาม (ระบบจำนวนจริง)

นักเรียนสามารถเข้าไปศึกษาได้ล่วงหน้า หากมีข้อสงสัย ให้ขอครูเป็นเพื่อนที่ FaceBook จากนั้น ก็ไปเข้า “ห้องเรียนครูอั๋น” และโพสทุกคำถามไว้ที่นั่น ทุกคำถามจะได้รับการตอบ ทั้งจากครูและเพื่อนๆ ครับผม

เจอกันใน FB และที่ห้องเรียนครับ
ครูอั๋น

ทบทวนเนื้อหาสำหรับเตรียมเรียน ม.4


ให้นักเรียนศึกษา/เรียนรู้/ทบทวน เนื้อหาซึ่งจำเป็นสำหรับการเรียนระดับมัธยมศึกษาตอนปลายนะครับ
เริ่มกันเลยครับ


เพลงเลขยกกำลัง (ภาษาอังกฤษ)


ไปเรียนเอกนามกัน

ตัวอย่างข้อสอบปลายภาคเรียนที่ ๒


ข้อสอบปลายภาคเรียนที่ ๒ ที่เคยใช้เมื่อหลายปีก่อนนะครับ
ลองไปทำกันเล่นๆ เป็นการฝึกซ้อมนะครับ

ครูอั๋น
๒๖ กุมภาพันธ์ ๒๕๕๔

สำหรับแนวข้อสอบปลายภาคเรียนที่ ๒ นี้ จะมีข้อสอบทั้งหมด ๓๐ คะแนนนะครับ แบ่งเป็น

  1. เมทริกซ์ ๒ คะแนน (ออก การดำเนินการ ๑ ข้อ และ ระบบสมการเชิงเส้น ๑ ข้อ)
  2. เรขาคณิิตวิเคราะห์ ๑๔ คะแนน (ออกเชิงเดียว คือ หนึ่งข้อ หาคำตอบโดยใช้สูตรเดียว ๕ ข้อ ส่วนอีก ๙ ข้อ จะถามโดยอาศัยความคิดขั้นสูง เช่น ถามย้อนกลับ, หาคำตอบโดยอาศัยหลายสูตร และ อาจจะออกปนกับเรื่องอื่นๆ)
  3. ภาคตัดกรวย ๑๔ คะแนน (ออกเชิงเดี่ยว ๘ ข้อ และออกขั้นสูงอีก ๖ ข้อ)

ดังนั้นให้นักเรียนทบทวนเนื้อหาให้ดีๆ และไปเติมสมุดไทยเล่มเล็กให้สมบูรณ์ ทั้งเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะห์ และภาคตัดกรวย ส่วนจะอนุญาตให้นำเข้าสอบหรือไม่ ขอดูความประพฤติและความตั้งใจเรียนของนักเรียนอีกครั้งหนึ่งนะครับ

ขอให้โชคดี

ครูอั๋น
๒๐ กุมภาพันธ์ ๒๕๕๔

เฉลยข้อสอบโอเน็ต


ลองทำข้อสอบโอเน็ตย้อนหลังกันนะครับ ดาวน์โหลดได้ที่นี้

ไปลองทำกันมาแล้วก็มาดาวน์โหลดเฉลยไปดูกันได้เลยครับ

หวังว่าจะช่วยได้…โดยเฉพาะนักเรียน ม.๔ ที่กำลังจะสอบ LAS ในเร็ววันนี้ครับ

จะพยายามอับเดทเรื่อยๆ นะครับ ลองเขามาตามดูกัน

ครูอั๋น
๒๑ กุมภาพันธ์ ๒๕๕๔

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 2,998 other followers

%d bloggers like this: