จำนวนมันใหญ่มาก


หากมีคนถามคุณว่า เลขที่มากที่สุดที่คุณรู้จักคือเลขอะไร และเลขมากมีประโยชน์อย่างไร หรือเขาให้คุณคิดคำนวณเลข 200 หลัก เช่นให้แยกตัวประกอบ (factor) หรือคูณกัน หรือหารกัน คุณจะตอบได้ไหม คุณจะทำได้ไหม

แล้วเขาสนใจจำนวนพวกนี้ตั้งแต่เมื่อไร ใครบ้างสนใจมัน แล้วศึกษาไปให้ได้อะไร

ตามไปอ่านที่จำนวนใหญ่ ในบล็อกนี้ครับ

เฉลยข้อสอบโอเน็ต


กำลังดำเนินการเรื่อยๆ นะครับ เฉลยเองบ้าง นักเรียนทำบ้างไม่ว่ากันครับ

เป็นผลงานของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6 โรงเรียนโคกยางวิทยาเป็นผู้เฉลยบ้าง
บ้างครั้งผมก็เป็นคนทำเฉลยบ้างครับ

ขอบคุณที่แวะมาอ่านนะครับ
ครูอั๋น
14 กันยายน 2554

(Last Update:  15Feb’2012)

การตรวจสอบการหารลงตัว


การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนในเรื่องเกี่ยวกับการจำนวนเต็ม ทฤษฎีจำนวน และเรื่องอื่นๆ โดยเฉพาะการตรวจสอบการหารลงตัว และการตรวจสอบจำนวนเฉพาะนั้น นักเรียนจะมีปัญหาในการหารว่าควรจะเลือกจำนวนใดมาหารดี ถึงจะรวดเร็วที่สุด และทำให้ได้คำตอบไวที่สุด มีผู้คิดการสอบหลายวิธี ในที่นี้ผู้เขียนจะได้นำเสนอการตรวจสอบการหารลงตัวด้วยจำนวนเต็มตั้งแต่ 2 – 20

จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว ได้แก่ จำนวนคู่ หรือจำนวนเต็มที่ลงท้ายด้วย 0, 2, 4, 6 และ 8
ตัวอย่าง จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว เช่น 12, 54, 296, 568, 1000 เป็นต้น

ƒ  จำนวนเต็มที่หารด้วย 3 ลงตัว ได้แก่ จำนวนเต็มที่เมื่อนำเลขโดดทุกตัวมารวมกันไปเรื่อยๆ จนได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนหลักเดียว หรือสองหลัก แล้วดูว่าจำนวนที่ได้นั้นหารด้วย 3 ลงตัวหรือไม่
ตัวอย่าง 3 หาร 27 ลงตัว          เพราะ  2 + 7 = 9       ซึ่ง 3 หาร 9 ลงตัว
3 หาร 147 ลงตัว        เพราะ  1 + 4 + 7 = 12 ซึ่ง 3 หาร 12 ลงตัว
3 หาร 134 ไม่ลงตัว     เพราะ  1 + 3 + 4 = 8  ซึ่ง 3 หาร 8 ไม่ลงตัว

อ่านฉบับเต็มที่นี่ครับ ตามลิงค์นี้นะครับ “การตรวจสอบการหารลงตัว” ซึ่งอยู่ในบล็อกนี้
หรือที่ “กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนโคกยางวิทยา” สำหรับที่นี้ ต้องดูดีๆ นิดนึงนะครับ เพราะว่าเครื่องหมายคูณ (×) กับหาร (÷) เหมือนจะยังแก้ไขไม่หมด เพราะ Copy มาจาก Word มันเพี้ยนๆ อยู่ครับ

อ่านและดาวน์โหลดไปอ่านได้เลยครับผม

ครูอั๋น
ปรับปรุง ๑๑ กันยายน ๒๕๕๔

เรียนคณิตออนไลน์กับครูอั๋น


ก้าวไปอีกขั้นกับการเรียนรู้คณิตสาสตร์ออนไลน์ กับครูอั๋น ด้วย MOODLE นักเรียนสามารถเข้าไปลงทะเบียนและเรียนรู้ และทบทวนเนื้อหาต่างๆ ได้ดั้งแต่บัดนี้เป็นต้นไปครับ

อ่อ…สมัครสมาชิกก่อนนะครับ ถึงจะเข้าใช้งานได้ กำลังอับเดทไปเรื่อยๆ ครับผม

เข้าไปเรียนกันเยอะๆ นะครับ
ครูอั๋น

ทบ.เศษเหลือ ปะทะ การหารสังเคราะห์


พอสอนเรื่องการแก้สมการพหุนาม และสอนทั้งการใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ และการหารสังเคราะห์ประกอบกัน นักเรียนก็จะงง ตัวผมเองก็งง และมีคำถามว่า จะให้ทฤษฎีบทเศษเหลือทำไม ในเมื่อหารสังเคราะห์ก็ใช้ได้ และใช้ได้ดีกว่าด้วย (ในมุมมองส่วนตัว)

วันนี้จะคุยกันเรื่องนี้ก็แล้วกันครับ

ทฤษฎีบท    (ทฤษฎีบทเศษเหลือ: Remainder Theorem)
ถ้าหารพหุนาม p(x) ด้วย xc เมื่อ c เป็นจำนวนจริงใด ๆ แล้ว เศษจากการหารจะเท่ากับ p(c)

เช่น

ตัวอย่าง    จงหาเศษเหลือจากการหาร x4 – 5x3 + 2x2x + 2 ด้วย x – 3

วิธีทำ         ในที่นี้ xc = x – 3  ดังนั้น c = 3

ใ้ห้ p(x) =  x4 – 5x3 + 2x2 – x + 2
เศษเหลือจากการหาร p(x) ด้วย x – 3 คือ p(3)
จะได้     p(3) = 34 – 5(33)+ 2(32) – 3 + 2 = 81 – 185 + 18 – 3 + 2 = -87

แต่ถ้าเป็นการหารที่ลงตัว หรือ หารผลหาร หรือ โจทย์ต้องการให้แยกตัวประกอบ หรือ แก้สมการ
ใช้การหารสังเคราะห์จะได้ประโยชน์มากกว่า และเร็วกว่าด้วยครับ

เช่น  (2x3x2 – 8x + 15) ÷ (x – 2) = ?

ด้วยวิธีการหารยาวแบบธรรมดา เราสามารถหาผลหารได้ดังนี้

แต่ว่าการตั้งหารแบบการหารยาวข้างต้นนั้นเสียเวลาและเสียพื้นที่มาก เราจะใช้วิธีการหารโดยการไม่เขียนตัวแปร และจัดรูปแบบการหารใหม่ ดังนี้

ซึ่งพอจะสรุปวิธีการหารสังเคราะห์คร่าวๆ ได้ดังนี้ครับ

สมมติให้ p(x) แทนพหุนามที่มีดีกรีมากกว่าหรือเท่ากับ 1

ถ้าต้องการหาร p(x) ด้วย xc เมื่อ c ≠ 0 ด้วยวิธีการหารสังเคราะห์ จะมีวิธีการดังต่อไปนี้

1.  เขียนสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่าง ๆ ของ p(x) โดยเขียนเรียงลำดับกำลังของ x จากมากไปหาน้อย และพจน์ใดไม่มีถือว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์นั้นเท่ากับ 0
2.  เขียน c เป็นตัวหาร
3.  จำนวนแรกในแถวที่ 1 ให้ดึงลงมาในแถวที่ 3
4.  นำ c คูณกับจำนวนแรกของแถวที่ 3 นำผลคูณที่ได้มาใส่ในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 2
5.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สอง นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3
6.  นำ c มาคูณกับจำนวนในตำแหน่งที่สองของแถวที่ 3 นำผลคูณใส่ในตำแหน่งที่สามของแถวที่ 2
7.  บวกจำนวนในแถวที่ 1 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่สาม   นำผลบวกใส่ในตำแหน่งเดียวกันกับแถวที่ 3

ทำเช่นนี้เรื่อยๆ ไป จนหมดทุกตำแหน่ง แล้วจะได้ว่า

  • จำนวนแต่ละจำนวนที่ได้ในแถวที่ 3 (ยกเว้นจำนวนสุดท้าย) เป็นสัมประสิทธิ์ของของผลหาร ซึ่งจะเป็นพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าดีกรีของ p(x) อยู่ 1
  • จำนวนสุดท้ายของแถวที่ 3 เป็นเศษของการหาร

ลองดูตัวอย่างกันครับ

ลองนำไปทำดูนะครับ

สรุปว่า

ถ้าต้องการหาเศษจากการหารพหุนาม p(x) ด้วย x – c ให้ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ หา p(c) ได้เท่่าไรนั่นคือเศษเหลือ
แต่หากต้องการแยกตัวประกอบของพหุนาม p(x) เพื่อนำไปใช้แก้สมการ ให้ใช้การหารสังเคราะห์จะสะดวกว่า (มากเลยแหละ) เพราะนอกจากจะได้ x – c แล้ว ยังได้ผลหาร q(x) ที่ทำให้ p(x) = (x – c)(q(x)) ด้วย ซึ่งจะทำให้เราสามารถแยกตัวประกอบต่อ (กรณีดีกรีเ่ท่ากับ 2) หรือหารสังเคราะห์อีกครั้ง (กรณีดีกรีสูงกว่า 2) ได้เลย

ครูอั๋น
7 กันยา’54

เฉลยข้อสอบ O-NET: เลขยกกำลัง (ราก)


ทำมาเรื่อยๆ จนเสร็จแล้วสำหรับ “เฉลยข้อสอบ O-NET: เลขยกกำลัง (ราก)” ลองไปอ่านดูนำครับ

อันนี้เป็นฉบับรวม จะพยายามทำออกมาเรื่อยๆ

ครูอั๋น

Trick ค่าความจริงของประพจน์


บางครั้ง เราไม่จำเป็นต้องทราบค่าความจริงของทุกประพจน์ เราก็สามารถหาค่าความจริงของรูปแบบของประพจน์ได้ เพียงแต่ให้จำลักษณะสำคัญอีกบางประการของค่าความจริงได้ เช่น
ตัวเชื่อม และ มีเท็จ เป็นเท็จ ทันที เช่น p Λ F ≡ F
ตัวเชื่อม หรือ มีจริง เป็นจริง ทันที เช่น p v T ≡ T
ตัวเชื่อม ถ้า…แล้ว… ขึ้นเท็จเป็นจริง ลงจริงเป็นจริง เช่น F → p ≡ T, p → T ≡ T
ลงทำแบบฝึกหัดนี้ดูครับ ถ้าตอบได้ครบ ก็แสดงว่าเก่งเยี่ยมยอดครับผม

ใครอยากได้เฉลยให้ post e-mail ไว้ในช่องใส่ความเห็น/comment เลยนะครับ จะส่งไปให้ครับผม

ครูอั๋น
15 June 2011
Maxx Hotel, Rama 9 Rd, BKK