ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน

คู่อันดับ (Order Pair) เป็นการจับคู่สิ่งของโดยถือลำดับเป็นสำคัญ เช่น คู่อันดับ a, b จะเขียนแทนด้วย (a, b) เรียก a ว่าเป็นสมาชิกตัวหน้า และเรียก b ว่าเป็นสมาชิกตัวหลัง

(การเท่ากับของคู่อันดับ) (a, b) = (c, d) ก็ต่อเมื่อ a = c และ b = d

ผลคูณคาร์ทีเชียน (Cartesian Product) ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (a, b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B

สัญลักษณ์      ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B เขียนแทนด้วย A x B
หรือ เขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขจะได้ว่า 

ความสัมพันธ์ (Relation)
r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซตของ A x B

โดเมน (Domain) และ เรนจ์ (พิสัย) (Range)

  1. โดเมน (Domain) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Dr ดังนั้น  Dr = {x | (x, y) ε r}
  2.  เรนจ์ (Range) ของความสัมพันธ์ r คือ เซตที่มีสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย R rดังนั้น  Rr = {y | (x, y) ε r}

หลักเกณฑ์ในการพิจารณาหาโดเมนและเรนจ์ในความสัมพันธ์ r

ลักษณะของความสัมพันธ์

วิธีหาโดเมน

วิธีหาเรนจ์

เซตแบบแจกแจงสมาชิก

พิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r

พิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r

เซตแบบบอกเงื่อนไข
  1. เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหน้าของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
  2. พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด y ให้อยู่ในรูป x แล้วหาค่า x ที่ทำให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไข
  3. เปลี่ยนเป็นเซตแบบแจกแจงสมาชิกแล้วพิจารณาสมาชิกตัวหลังของทุกคู่อันดับในความสัมพันธ์ r
  4. พิจารณารูปแบบของเงื่อนไขแล้วจัด x ให้อยู่ในรูป y แล้วหาค่า y ที่ทำให้ x เป็นจริงตามเงื่อนไข
กราฟ

พิจารณาค่าของ x ทั้งหมดบนแกน X ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

พิจารณาค่าของ y ทั้งหมดบนแกน Y ที่ใช้ในการเขียนกราฟ

ตัวผกผันของความสัมพันธ์ (Inverse of Relation) อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r คือ ความสัมพันธ์ซึ่งเกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังในแต่ละคู่อันดับที่เป็นสมาชิกของ r

สัญลักษณ์         อินเวอร์สของความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย r-1
เขียน r-1 ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขได้ดังนี้  r-1 = {(x, y) | (y, x) ε r}
ถ้า r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B แล้ว r-1 จะเป็นความสัมพันธ์จาก B ไป A

ฟังก์ชันขั้นบันได

ฟังก์ชัน (Function)  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้ามีสมาชิกตัวหน้าเท่ากันแล้ว  สมาชิกตัวหลังต้องไม่แตกต่างกัน
หรือ
ฟังก์ชัน  คือ  ความสัมพันธ์  ซึ่งในสองคู่อันดับใด ๆ ของความสัมพันธ์นั้น  ถ้าสมาชิกตัวหน้าเท่ากัน  สมาชิกตัวหลังต้องเท่ากันด้วย

นั่นคือ   ความสัมพันธ์ f จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y1) ε f และ (x, y2) ε f แล้ว  y1 = y2

ถ้าหากว่าความสัมพันธ์ที่กำหนดให้อยู่ในรูปแบบบอกเงื่อนไข  การตรวจสอบว่าความสัมพันธ์นั้นเป็นฟังก์ชันหรือไม่สามารถทำได้กลายวิธี  ดังต่อไปนี้

วิธีที่  1      ถ้า  r  เป็นความสัมพันธ์ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ  (x, y)  และมีเงื่อนไข  r(x, y)  แล้ว  ให้นำเงื่อนไข  r(x, y)  มาเขียนใหม่โดยเขียน y ในรูปของ x และพิจารณาดังนี้
1)  ถ้าแต่ละค่าของ x หาค่า y ได้เพียงค่าเดียว  สรุปว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีบางค่าของ x ที่ทำให้หาค่า y ได้มากกว่าหนึ่งค่า  สรุปว่า r ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  2      เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ r ซึ่งประกอบด้วยคู่อันดับ (x, y) และมีเงื่อนไข  r(x, y)
สมมติให้ (x, y) ε r และ (x, z) ε r  ดังนั้นจะได้เงื่อนไข  r(x, y)  และ  r(x, z) พิจารณา
1)  ถ้าสามารถแสดงได้ว่า  y = z จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ากรณีที่มี  y ε z  จะได้ว่า  r  ไม่เป็นฟังก์ชัน

วิธีที่  3       โดยใช้กราฟ
กำหนดกราฟความสัมพันธ์ r ให้ลากเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และให้ตัดกราฟของความสัมพันธ์ r พิจารณา
1)  ถ้าเส้นตรงแต่ละเส้นตัดกราฟของ r ได้เพียงจุดเดียวเท่านั้น จะได้ว่า r เป็นฟังก์ชัน
2)  ถ้ามีเส้นตรงบางเส้นตัดกราฟของ r มากกว่าหนึ่งจุด  จะได้ว่า r จะไม่เป็นฟังก์ชัน

กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เรามีข้อตกลงเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณ์ ดังนี้

(x, y) ε R  จะเขียนแทนด้วย y = f(x)

เรียก f(x) ว่าค่าของฟังก์ชัน f  ที่ x หรือเรียกว่าภาพฉาย (image) ของ x ภายใต้ฟังก์ชัน f

อ่าน f(x) ว่า เอฟของเอ็กซ์ หรือ เอฟที่เอ็กซ์ หรือเรียกสั้นๆ ว่า เอฟเอ็กซ์

เราจะพบการใช้สัญลักษณ์เกี่ยวกับฟังก์ชันอยู่ 2 ลักษณะที่สำคัญคือ การเขียน f และ f(x) ซึ่งมีความแตกต่างและการนำไปใช้ดังนี้

1)      การเขียน f จะเป็นการกำหนดชื่อฟังก์ชัน (คล้ายการกำหนดชื่อเซต) เช่น กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชัน เป็นต้น การเขียน f จะเขียนในรูปเซตแบบแจกแจงสมาชิก หรือว่าเซตแบบบอกเงื่อนไขก็ได้ เช่น          f = {(2, 5), (3, 7), (4, 9)}           หรือ     f = {(x, y) | y = 2x + 1}          เป็นต้น

2)      การเขียน f(x) จะเป็นการนิยามฟังก์ชัน f ว่ามีเงื่อนไข หรือลักษณะอย่างไร กำหนดให้เป็นอย่างไร มักเขียนในรูปนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ (ประโยคสัญลักษณ์) แสดงความสัมพันธ์ตั้งแต่ 2 ตัวแปรขึ้นไป และมักเขียนในรูปสมการ เช่น f(x) = 2x + 1 หรือบางครั้งอาจเขียน y = 2x + 1 ให้เข้ใจว่า การนิยามฟังก์ชัน f จะเขียนให้อยู่ในรูป y = f(x)

ดังนั้น นักรเยนจะพบเสมอว่า ในโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับฟังก์ชันโดยทั่วไป มักจะขึ้นต้นในทำนองว่า “กำหนดให้ f เป็นฟังก์ชันซึ่งนิยามว่า f(x) = …”  เป็นต้น

ดังนี้แล้ว พึงระลึกถึงและนำไปใช้ให้ถูกต้องด้วยความเคร่งครัดและระมัดระวัง

พีชคณิตของฟังก์ชัน หรือ การดำเนินการของฟังก์ชัน (Algebric Function or Operation of Function)

ฟังก์ชันประกอบ หรือ ฟังก์ชันคอมโพสิต (Composite Function)

ตัวผกผันของฟังก์ชัน หรือ ฟังก์ชันอินเวอร์ส (Inverse of Function)

ฟังก์ชันจากเซตหนึ่งไปยังอีกเซตหนึ่ง

กำหนดให้ A และ B เป็นเซต
f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไป B (function from A to B) ก็ต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    Df = A
3)    Rf  ε B

สัญลักษณ์      f  เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : A → B  อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B

ฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

f จะเป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B (function from A onto B) ก็เต่อเมื่อ
1)    f เป็นฟังก์ชัน
2)    Df = A
3)    Rf = B

สัญลักษณ์   f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B จะเขียนแทนด้วย f : AB  หรือ
f
: AB อ่านว่า f เป็นฟังก์ชันจาก A ไปทั่วถึง B

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไป B

ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจาก A ไปทั่วถึง B

ฟังก์ชันเชิงเส้น (Linear Funtion)

ฟังก์ชันพหุนาม (Polynomial Function)

ฟังก์ชันขั้นบันได (Step Function)

ฟังก์ชันเอกซโพเนนเชียล (Exponential Function)

ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm Function)

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometry Function)

ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function)

77 การตอบรับ

  1. คุณครูคะ อาจารย์ให้หาโจทย์ยากๆเรื่องกราฟของความสัมพันธ์ค่ะ ให้ทำเป็นใบงานแต่หนูหาโจทย์ไม่ได้ค่ะงง อาจารย์เขาให้วาดกราฟแล้วปิดโจทย์กับเฉลยเอาไว้ค่ะ ช่วยหาโจทย์ให้หนูที

    1. ลองหาดูในหนังสือคู่มือเล่มอื่นๆ ที่เขาอธิบายละเอียดๆ น่ะครับ แบบเรียน สสวท. บางทีก็อธิบายน้อย ลองพยายามทำความเข้าใจดู มีโจทย์สงสัยจะถามโพสต์ไว้ที่ https://www.facebook.com/learningkruaun นะครับ

  2. จะสอบเเล้วยังไม่เข้าใจเลยครับเรื่องฟังก์ชั่นไม่รู้ต้องทำยังไง

    1. ลองหาดูในหนังสือคู่มือเล่มอื่นๆ ที่เขาอธิบายละเอียดๆ น่ะครับ แบบเรียน สสวท. บางทีก็อธิบายน้อย ลองพยายามทำความเข้าใจดู มีโจทย์สงสัยจะถามโพสต์ไว้ที่ https://www.facebook.com/learningkruaun นะครับ

  3. ครูค่ะ. หนุเรียนยังไงก็ไม่เข้าจัยเลยค่ะ

    1. อันนี้ไม่รู้จะช่วยยังไงดี…มันเป็นเรื่องที่ยากมาก ยิ่งถ้าเรื่องจำนวนจริงไม่เข้าใจก็หนักเข้าใหญ่ มีไรถามได้ครับ จะช่วยตอบ

  4. ตรงไหนของเรื่องนี้ที่สำคัญๆๆบ้างค้าบ เอาเปนขอสรุปแบบเข้าใจเลยอ่ะครับ

    1. สำคัญหลายจุดอยู่นะครับ โดยเฉพาะการตรวจสอบโดเมนกับเรนจ์ที่ต้องดึงความรู้จากจำนวนจริงมาใช้ ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันอินเวอร์สครับ

  5. อยู่ต่างประเทศค่ะตอนนี้ ที่ รร สอนเป็นภาษาฟิน งงมาก หาเรียนตามวิดีโอ กลัวตามเขาไม่ทัน อ่านบลอำครูแล้วหวังว่าคงช่วยอะไรได้บ้างค่ะ ขอบคุณค่ะ

    1. ถ้าช่วยได้ยินดีครับ สงสัยโพสถามได้นะครับ ตอบได้ยินดีตอบครับ

  6. สวัสดีครับ ผมมีเรื่องจะถามเกี่ยว relation ของผลคูณคาร์ติเซียน product ทั้งสามแบบ คือ reflexive symmetric และ transitive มีtrick ในการมองยังไงให้ง่ายที่สุด ครับ หรือมีวิธีการดูจาก matrix หรือ กราฟก็ได้ ที่ง่ายที่สุดและ เร็วที่สุด ที่ไม่จำเป็นต้องมองในเซตอย่างเดียว เพราะผมอยากได้ trick สั้นๆในการมองเพื่อจัดการกับข้อสอบในเวลาอันสั้นได้

    1. อันนี้ผมไม่แน่ใจว่ามี trick ไหมนะครับ ยังไม่เคยได้ศึกษาดูครับ

      1. ครับผม ของคุณครับ

  7. กำหนดค่า y=f(x)=x^2-x-2 หาจุดศูนย์ของfกับโดเมนและเรนจ์ต้องทำยังไงค่ะ

    1. จุดศูนย์ คือ???
      เป็นพาราโบลาหงาย หาจุดต่ำสุดก็จะตอบได้ครับว่าโดเมนกับเรนจ์คือ???

      1. คืออย่างนี้นะคะครู คือต้องหาจุดศูนย์ของฟังชันf และจุดยอดของf คือมันจะร่างได้เป็นกราฟอะไรค่ะ เพราะต้องหาโดเมนและเรนส์ด้วยค่า ขอบคุณค่า ทำตั้งนานทำไม่ได้เลยอะค่าt.t

        1. สรุปหาได้ไหมครับอ่านแล้วงง
          แล้วจุดศูนย์ของฟังก์ชันคือ???? จุดสูงสุด/ต่ำสุดหรือเปล่าครับ ผมงง

          1. ใช่ค่ะ จุดสูงสุดกับต่ำสุดค่า

          2. ครับ งั้นคงจะหาได้แล้วนะครับ

  8. ขอบคุณมากครับ

  9. คุณครูครับ คือว่า วันนี้ผมเรียนเรื่องฟังก์ชัน อาจารให้ทำรายงาน เรื่องฟังก์ชัน เขาให้ทำว่าฟังก์ชันเรียนแล้วนำไปใช้ในชีวิตรประจำวันไรได้บ้าง เรียนฟังก์ชันเพื่อน อะไรประมาณนี้อ่า คือผมควรทำยังไงดีครับ ครู ^ ^

    1. เป็นคำถามที่ตอบยากมาก…ไว้ดึกๆ จะมาตอบนะครับ

    2. ถามว่ามันเอาไปใช้ทำอะไรในชีวิตประจำวันได้บ้าง คงตอบยากมาก เพราะเรารู้สึกว่าเราไม่ได้เอาไปใช้เลย…ใช่ไหมครับ???

      แต่ในงานบางงานที่ต้องสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้ตอบคำถามบางเรื่อง จำเป็นต้องสร้างฟังก์ชันขึ้นมาเพื่อดูว่าแนวโน้มเป็นอย่างไร ลองดูในหนังสือของอาจารย์กมล เอกไทยเจริญน่ะครับ ท่านเขียนการประยุกต์ของฟังก์ชันไว้หลายตัวอย่างพอสมควรครับ

      หรือการประยุกต์ใช้เกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือต่ำสุด (พาราโบลา) ก็น่าจะพอได้นะครับผม

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 3,003 other followers

%d bloggers like this: