ยุคโบราณ กรีก อียิปต์

(ไม่หวงถ้าจะนำไปใช้ต่อ แค่ขอให้พูดถึง/อ้างอิงที่มานิดหนึ่งก็ยังดีนะครับ)

β-๒-2-II

เหตุการณ์สำคัญในประวัติและพัฒนาการของคณิตศาสตร์

ยุคโบราณ กรีก และอียิปต์

(ประมาณ 50,000 ปีก่อน ค.ศ. – ประมาณ ค.ศ.450)

เหตุการณ์ต่าง ๆ จะย้อนไปตั้งแต่เมื่อ 50,000 ปีก่อนคริสต์ศักราช ซึ่งมีการค้นพบหลักฐานที่แสดงถึงความสามารถด้านคณิตศาสตร์ของมนุษยชาติกระทั่งปี ค.ศ.2000 มาติดตามกันว่ามีเหตุการณ์อะไรเกิดขึ้นบ้าง

  • 50,000 ปีก่อน ค.ศ.       มนุษย์ยุคแรกทิ้งหลักฐานซึ่งแสดงให้เห็นถึงความสามารถในการนับ มนุษย์พาลิโอลิธิก (Paleolithic) หรือมนุษย์ยุคหินเก่าในตอนกลางของยุโรปทำรอยบากบนกระดูกสัตว์แสดงถึงการนับ
  • ประมาณ15,000 ปีก่อน ค.ศ.    ชาวถ้ำ (Cave dwellers) ในตะวันออกกลางทำรอยบากบนกระดูกสัตว์เพื่อบันทึกการนับ และอาจจะเป็นไปได้ว่าเพื่อติดตามการโคจรของดวงจันทร์
  • ประมาณ 8,000 ปีก่อน ค.ศ.     แผ่นดินเหนียวเผาถูกนำมาใช้ในเมโสโปเตเมีย (Mesopotamia) เพื่อบันทึกจำนวนสัตว์เลี้ยง เหตุการณ์นี้เป็นเหตุการณ์ซึ่งแสดงถึงการพัฒนาระบบตัวเลข (System of numeration) ระบบแรกของโลก
  • ประมาณ 4,700 ปีก่อน ค.ศ.     น่าเป็นจุดเริ่มต้นของปฏิทินของชาวบาบิโลน
  • 3,500 ปีก่อน ค.ศ. ระบบจำนวนของชาวอียิปต์พัฒนาจนถึงจุดที่พวกเขาไม่สามารถหลีกเลี่ยงการบันทึกจำนวนที่มีขนาดใหญ่ ๆ มากได้โดยการสร้างหรือกำหนดสัญลักษณ์ใหม่
  • ประมาณ 2,400 ปีก่อน ค.ศ.     ป้ายจารึกขนาดเล็ก ที่จารึกวันเวลาในยุคสมัยนั้นได้รับการค้นคบที่เมืองเยอร์ (Ur) เมืองโบราณในอาณาจักรซูเมอร์ (Sumer) ปัจจุบันอยู่ในประเทศอีรัค
  • ประมาณ 2,000 ปีก่อน ค.ศ.     ชาวบาบิโลนและชาวอียิปต์ใช้เศษส่วน (fraction) เป็นแนวทางหนึ่งในการช่วยบอกเวลาและวัดมุม
  • ประมาณ 1,800 ปีก่อน ค.ศ.     ชาวบาบิโลนใช้สิ่งซึ่งเป็นที่รู้จักกันในปัจจุบันว่าเป็น“ทฤษฎีบทพีทาโกรัส” (The Pythagorean Theorem) ทว่าพวกเขายังไม่ได้แสดงวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทดังกล่าวไว้
  • ประมาณ 1,650 ปีก่อน ค.ศ.     กระดาษโบราณที่ได้รับการเรียกขานว่ากระดาษไรนด์ (Rhind) (รู้จักกันในอีกชื่อหนึ่ง คือ Ahmes papyrus) ถูกผลิตขึ้นโดยชาวอียิปต์ ได้รับการคัดลอกโดย Ahmes ซึ่งบรรจุคำตอบของสมการอย่างง่าย ได้กลายมาเป็นหลักฐานปฐมภูมิของความรู้เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ของชาวอียิปต์ในยุคแรก ๆ การอธิบายวิธีการคิดของพวกเขาในการคูณ และการหาร รวมถึงวิธีการทางพีชคณิตด้วย
  • 876 ปีก่อน ค.ศ.    หลักฐานอ้างอิงชิ้นแรกที่แสดงถึงการใช้สัญลักษณ์แทนเลขศูนย์ได้รับการพัฒนาขึ้นในประเทศอินเดีย

ทาลิสแห่งมิเลตุส (Thales of Miletus, ประมาณ 624 – 547 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

  • ประมาณ 585 ปีก่อน ค.ศ.       นักเรขาคณิตและนักปรัชญาชาวกรีกนามธาลีสแห่งมิเลตุส (Thales ofMiletus, ประมาณ 624 – 547 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เปลี่ยนแปลงและพัฒนาเรขาคณิต และคณิตศาสตร์ของชาวกรีก จากเพียงแค่การคิดพิจารณาแก้ปัญหาเพียงอย่างเดียว มาเป็นการศึกษาเชิงนามธรรม และได้พิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ (ประพจน์เชิงคณิตศาสตร์: Mathematical Statement) โดยใช้อนุกรมของการให้เหตุผลเชิงตรรกศาสตร์ ซึ่งการกระทำดังกล่าวนี้กลายมาเป็นที่มีของคณิตศาสตร์เชิงอนุมาน (Deductive Mathematics)

พีทาโกรัสแห่งซามอส (Pythagoras of Samos, ประมาณ 580 – 496 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

  • ประมาณ 500 ปีก่อน ค.ศ.       นักเรขาคณิตและนักปรัชญาชาวกรีกนามพีทาโกรัสแห่งซามอส (Pythagoras of Samos, ประมาณ 580 – 496 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ได้พัฒนาแนวคิดที่เชื่อว่าจักรวาลทั้งหมดสร้างตั้งอยู่บนพื้นฐานของจำนวน และความสัมพันธ์เหล่านั้น เขาอนุมานว่ากำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก ซึ่งกลายมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “ทฤษฎีบทพีทาโกรัส”

ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria, ประมาณ 325 – 265 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

  • ประมาณ 300 ปีก่อน ค.ศ.       นักเรขาคณิตชาวกรีกนามยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria, ประมาณ 325 – 265 ปีก่อนคริสต์ศักราช) เขียนตำราทางเรขาคณิตที่มีชื่อว่าอิลิเมนต์ (Elements) ซึ่งได้กลายมาเป็นมาตรฐานในการเขียนตำราทางเรขาคณิตมากกว่า 2,000 ปี

ยุคลิด เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก เขามีผลงานมากมายหลายสิบชิ้น แต่ผลงานที่มีชื่อเสียงที่สุดของเขาคือ หนังสือชื่อ “เอลิเม้นต์” (Elements) ซึ่งถือว่าเป็นตำราที่สมบูรณ์เล่มแรกของโลก หนังสือชุดนี้มีทั้งหมด 13 เล่ม ซึ่งมีเนื้อหาเกี่ยวกับเรขาคณิต พีชคณิต และทฤษฎีจำนวน ซึ่งเนื้อหาของทั้ง 13 เล่ม มีรายละเอียดโดยสังเขปดังนี้

  1. เล่ม 1 ประกอบไปด้วยบทนิยาม 13 นิยาม สัจพจน์ 10 ข้อ ยุคลิดเรียกสัจพจน์ 5 ข้อแรกว่า Postulates และ 5 ข้อหลังเรียกว่า Common notion และทฤษฎีบทอีก 48 ทฤษฎีบท ซึ่งรวมถึงทฤษฎีพีทาโกรัสและบทกลับเอาไว้ด้วย
  2. เล่ม 2 เกี่ยวกับการเปลี่ยนรูป พื้นที่ของรูปต่าง ๆ และพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของพีทาโกรัส
  3. เล่ม 3 เป็นทฤษฎีบทเกี่ยวกับวงกลม คอร์ด เส้นสัมผัสวงกลมและการวัดมุมต่าง ๆ
  4. เล่ม 4 เป็นการอภิปรายผลงานของโรงเรียนปีทาโกเรียน เรื่อง การสรางรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าโดยใช้วงเวียนและสันตรง
  5. เล่ม 5 ยุคลิดนำแนวคิดของยูโดซุสมาอธิบายเรื่องทฤษฎีสัดส่วนได้อย่างดีเยี่ยม และนำการประยุกต์ในการหาขนาด ซึ่งแก้ปัญหาที่เกิดขึ้นจากการค้นพบจำนวนอตรรกยะ
  6. เล่ม 6 นำทฤษฎีสัดส่วนของยูโดซุสมาใช้กับเรขาคณิตในระนาบเกี่ยวกับทฤษฎีบทของรูปสาม เหลี่ยมคล้าย
  7. เล่ม 7, 8, 9 เกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
  8. เล่ม 10 เกี่ยวกับเรขาคณิตที่เกี่ยวกับจำนวนอตรรกยะ
  9. เล่ม 11 ความรู้เกี่ยวกับเรขาคณิตสามมิติ
  10. เล่ม 12 เรื่องปริมาตรและทฤษฎีบทของยูโดซุสเกี่ยวกับระเบียบวิธีเกษียณ  (Method of exhaustion) ซึ่งเป็นพื้นฐานนำไปสู่เรื่องลิมิต (Limit)
  11. เล่ม 13 เกี่ยวกับการสร้างรูปทรงสามมิติ

จากสัจพจน์เพียง 10 ข้อของยุคลิดในหนังสือเอลิเม้นต์เล่ม 1 นั้น ทำให้เขาสามารถเขียนหนังสือได้ 13 เล่ม และหนึ่งในสัจพจน์ทั้ง 10 ข้อนั้น สัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดซึ่งเป็นสัจพจน์ของความขนานนั้นเป็นสัจพจน์ที่มีชื่อเสียงมาก ซึ่งมีข้อความว่า “ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่ง ผ่านเส้นตรง 2 เส้น ทำให้มุมภายในที่อยู่ด้านเดียวกันรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก แล้วเส้นตรงสองเส้นจะตัดกันทางด้านที่มีมุมรวมกันน้อยกว่า 2 มุมฉาก ถ้าลากเส้นนั้นต่อไปเรื่อยๆ” สัจพจน์ข้อนี้เองนำไปสู่การค้นพบเรขาคณิตชนิดอื่นๆ เราจะเห็นได้ว่าสัจพจน์ข้อนี้ยาวกว่าสัจพจน์ข้ออื่นๆ มาก เข้าใจยาก สลับซับซ้อน และมีการใช้คำว่า “ถ้า…แล้ว…” ซึ่งเป็นรูปของทฤษฎีบทมากกว่าจะเป็นสัจพจน์ จึงได้มีนักคณิตศาสตร์หลายคนพยายามที่จะเขียนสัจพจน์ข้อนี้ขึ้นมาใหม่โดยให้ สัจพจน์ใหม่นั้นสมมูลกับสัจพจน์เดิม ซึ่งมีมาตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 5 แล้ว ซึ่งปัจจุบันสัจพจน์ข้อที่ 5 ของยุคลิดนี้เราใช้ของ จอห์น เพลย์แฟร์ (John Playfair, ค.ศ. 1748 – 1849) นักคณิตศาสตร์ชาวสกอตแลนด์แทน ซึ่งสัจพจน์ของเพลย์แฟร์มีอยู่ว่า “Through a given point not on a given line can be drawn only one line parallel to a given line.” (ลากเส้นตรงผ่านจุดที่กำหนดให้และขนานกับเส้นตรงที่กำหนดได้เพียงเส้นเดียว เท่านั้น)

อาร์คีมีดีสแห่งไซราคิวส์ (Archimedes of Syracuse, ประมาณ 287 – 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

  • ประมาณ 240 ปีก่อน ค.ศ.       นักเรขาคณิตชาวกรีกนามอาร์คิมีดีสแห่งไซราคิวส์ (Archimedes of Syracuse, ประมาณ 287 – 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ได้คำนวณค่าพาย (p) ได้ใกล้เคียงที่สุดในขณะนั้น และเขายังได้ใช้สัญลักษณ์สำหรับนิพจน์ซึ่งแทนจำนวนที่มีค่ามากๆ โดยใช้วิธีที่คล้ายกับวิธีการเขียนเลขยกกำลังในปัจจุบัน นอกจากนี้อาร์คิมีดีสยังได้ค้นพบการหาพื้นที่และปริมาตรพื้นผิวโค้งแบบพิเศษและทรงตันอีกด้วย

ค่าพายของอาร์คีมีดิส

ภาพแสดงตัวอย่างการสร้างรูปหลายเหลี่ยมแนบในวงกลม และรูปหลายเหลี่ยมล้อมวงกลม ในการหาค่าพาย

อาร์คิมีดีสสามารถใช้แนวคิดกณิกนันต์ (Infinitesimal: น้อยยิ่ง) ในวิธีที่คล้ายคลึงกับแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ของยุคใหม่ ด้วยการพิสูจน์แย้ง เขาสามารถหาคำตอบของปัญหาที่มีระดับความแม่นยำสูงมากๆ ได้โดยกำหนดขอบเขตที่คำตอบนั้นตั้งอยู่ วิธีการนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ ระเบียบวิธีเกษียณ (Method of exhaustion) ซึ่งเขานำมาใช้ในการหาค่าประมาณของ p (พาย) วิธีการคือวาดภาพหลายเหลี่ยมขนาดใหญ่กว่าอยู่ข้างนอกวงกลม (รูปหลายเหลี่ยมล้อมวงกลม) และรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่าอยู่ข้างในวงกลม (รูปหลายเหลี่ยมแนบในวงกลม) ยิ่งจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมเพิ่มขึ้น ก็จะทำให้รูปเหลี่ยมนั้นใกล้เคียงกับขอบของวงกลมมากยิ่งขึ้น เมื่อรูปหลายเหลี่ยมมีจำนวนด้านถึง 96 ด้าน เขาคำนวณความยาวของแต่ละด้านรวมกันและแสดงถึงค่าของ p ที่อยู่ระหว่าง 3หรือก็คือ  (ประมาณ 3.1429) นั่นเอง กับ 3 (ประมาณ 3.1408) เทียบกับค่าที่แท้จริงของ p ที่ประมาณ 3.1416 และยังพิสูจน์ด้วยว่าพื้นที่ของวงกลมนั้นเท่ากับ p คูณกับค่ากำลังสองของรัศมีของวงกลมด้วย ซึ่งเป็นที่มาของสูตรการหาพื้นที่ของวงกลมที่เราคุ้นเคยกัน นั่นคือ pr2 เมื่อ r แทนความยาวของรัศมีของวงกลม

ศาสตราจารย์ หม่อมราชวงศ์พรรคพงศ์สนิท สนิทวงศ์ ได้เขียนบทความเกี่ยวกับการพิสูจน์นี้ลงในวารสารคณิตศาสตร์เมื่อหลายปีก่อน ในเรื่อง “Icecream Cone Proof” อธิบายวิธีการหาค่า p ว่ามีค่าประมาณ  ไว้อย่างละเอียดทีเดียว

เอราโทสเตเนส (Eratosthenes, ประมาณ 276 – 194 ปีก่อนคริสต์ศักราช)

  • ประมาณ 230 ปีก่อน ค.ศ.       นักดาราศาสตร์ชาวกรีกนามเอราโทสเตเนส (Eratosthenes, ประมาณ 276 – 194 ปีก่อนคริสต์ศักราช) ได้พัฒนาวิธีการหาจำนวนเฉพาะ (prime number) ซึ่งกลายมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อ “ตะแกรงของเอราโทสเตเนส” (Sieve of Eratosthenes)
  • ประมาณ 100 ปีก่อน ค.ศ.       จำนวนลบ (negative number) ถูกนำมาใช้ในประเทศจีน
  • ค.ศ.250     นักพีชคณิตชาวกรีกนาม ดิโอแฟนตุสแห่งอะเล็กซานเดรีย (Diophantus of Alexandria, ประมาณ ค.ศ.200 – 284) เป็นนักคณิตศาสตร์คนแรกชาวกรีกคนแรกที่เขียนสัญลักษณ์ในการทำงานทางพีชคณิต
  • ค.ศ.320     นักเรขาคณิตชาวกรีกนามปัปปุสแห่งอะเล็กซานเดรีย (Pappus of Alexandria, ค.ศ.290 – 350) ได้สรุปความรู้ทั้งหมดของคณิตศาสตร์แบบกรีก นับเป็นการสร้างแหล่งข้อมูลที่ดีที่สุดของคณิตศาสตร์แบบกรีก ซึ่งต่อมานักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสนามปีแยร์ เดอ แฟร์มาต์ ได้ทำการพิมพ์ซ้ำ และศึกษางานของปัปปุสต่อ

ไฮพาเทียแห่งอะเล็กซานเดรีย (Hypatia of Alexandria, ค.ศ.370 – 415)

  • ค.ศ.400     นักเรขาคณิต นักดาราศาสตร์และนักปรัชญาชาวกรีกนามไฮพาเทียแห่งอะเล็กซานเดรีย (Hypatia of Alexandria, ค.ศ.370 – 415) ได้เขียนบทวิพากษ์งานของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกนามอะโพลโลเนียสแห่งเปรกา (Apollonius of Perga, ประมาณ 262 – 190 ปีก่อนคริสต์ศักราช) และดิโอแฟนตุสแห่งอะเล็กซานเดรีย (เชื่อว่า) เธอเป็นสตรีเพียงคนเดียวที่ได้รับการศึกษาในยุคโบราณ อีกทั้งเป็นนักคณิตศาสตร์หญิงคนแรก (และคนเดียว) ที่ปรากฏชื่อและผลงานในประวัติและพัฒนาการของคณิตศาสตร์ยุคโบราณ
  • ค.ศ.415     ไฮพาเทียแห่งอะเล็กซานเดรียถูกมาตรกรรม…

อ่านเรื่องของไฮพาเทีย เพิ่มเติมได้ที่ “ไฮพาเทียแห่งอะเล็กซานเดรีย

11 responses

  1. อยากทราบบุคคลสำคัญในยุคอียิปต์ ครับthx

    1. มีรายชื่อบางท่านอยู่ในบทความนี่ไงครับ

  2. ขอบคุณมากครับสำหรับความรู้ดีๆ และเป็นกำลังให้อาจารย์มีบทความดีๆออกมาอีกเยอะๆเลยครับ

    1. ขอบคุณครับสำหรับกำลังใจ จะพยายามเขียนออกมาเรื่อยๆ นะครับ ^^

  3. ช่วยได้มากเลยค่ะ พอดีกำลังจะต้องสอบยุคสมัยในคณิตศาสตร์ ขอบคุณสำหรับข้อมูลนะคะ

    1. ขอบคุณและยินดีมากๆ ครับผม

  4. ขอบคุณสำหรับข้อมูลดีๆนะค่ะ ^_^

    1. ขอบคุณที่สนใจนะครับ

  5. ฝากเพิ่มการพิสูจน์ทฤษฎี48บทเรขาคณิตของยุคลิดด้วยครับ

    1. ครับ…จะเก็บไว้พิจารณานะครับ

ปลื้มใจที่แวะเข้ามา ฝากข้อความสักหน่อยก็ไม่ว่าอะไรนะครับ ขอบคุณครับผม ^___^

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / เปลี่ยนแปลง )

Connecting to %s

ติดตาม

Get every new post delivered to your Inbox.

Join 3,007 other followers

%d bloggers like this: